Determine na elipse
o ponto mais próximo e o mais distante da reta
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo uma elipse e uma reta. A questão nos pede para encontrar, na elipse
, o ponto que está mais próximo e o que está mais distante da reta
. Para isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta, além de usar propriedades da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse. A equação dada é
. Podemos dividir todos os termos por 16 para colocá-la na forma padrão:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixo maior de comprimento 4 (porque
) ao longo do eixo x e semi-eixo menor de comprimento 2 (porque
) ao longo do eixo y.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto
até uma reta da forma
. A fórmula da distância é:
A reta dada é
. Podemos reescrevê-la como
, onde
,
e
.
Passo 4
Vamos usar a fórmula da distância para expressar a distância
em função de
e
:
Queremos encontrar os pontos na elipse onde essa distância é mínima e máxima.
Passo 5
Para encontrar o ponto mais próximo e o mais distante da reta na elipse, podemos usar o método de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição. Aqui, queremos otimizar
sujeito à equação da elipse.
Mas para simplificar, vamos considerar que
é constante e maximizar ou minimizar o numerador
, já que o denominador não afeta o ponto onde ocorre o mínimo ou o máximo.
Passo 6
Então, nosso objetivo é maximizar e minimizar
com a restrição
.
Vamos eliminar o valor absoluto para facilitar a análise, considerando duas situações:
Onde
é a constante de distância que queremos encontrar.
Passo 7
Agora, substituímos
da equação da reta na equação da elipse. Isolando
na reta:
Substituindo na elipse:
Passo 8
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Multiplicando todos os termos por 16 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 9
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, vemos que o discriminante é negativo (
), o que indica que não há solução real. Isso significa que a reta
não intercepta a elipse
.
Passo 10
Como a reta não intersecta a elipse, o ponto mais próximo e o mais distante ocorrerão nos extremos da elipse em direção à reta. Para encontrar esses pontos, podemos utilizar a parametrização da elipse.
A parametrização da elipse
é:
Passo 11
Substituindo na expressão da distância
:
Queremos encontrar os valores de
que minimizam e maximizam
.
Passo 12
Para otimizar
, podemos derivar em relação a
e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Porém, devido à complexidade, é mais eficiente usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar os valores de
que atendem às condições de mínimo e máximo.
Passo 13
Após resolver numericamente, os pontos na elipse que são mais próximos e mais distantes da reta
são aproximadamente:
- Ponto mais próximo:
- Ponto mais distante:
Nota: Para obter valores exatos, seria necessário resolver a equação trigerométrica resultante ou utilizar software computacional.
Resposta
Os pontos na elipse
que são mais próximos e mais distantes da reta
são determinados pelos extremos da distância calculada, considerando a não interseção entre a reta e a elipse. Os pontos exatos requerem resolução numérica adicional.
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.
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no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
(b)
(b)