Determine na elipse o ponto mais próximo e o mais distante da reta .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo uma elipse e uma reta. A questão nos pede para encontrar, na elipse , o ponto que está mais próximo e o que está mais distante da reta . Para isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta, além de usar propriedades da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da elipse. A equação dada é . Podemos dividir todos os termos por 16 para colocá-la na forma padrão:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixo maior de comprimento 4 (porque ) ao longo do eixo x e semi-eixo menor de comprimento 2 (porque ) ao longo do eixo y.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto até uma reta da forma . A fórmula da distância é:
A reta dada é . Podemos reescrevê-la como , onde , e .

Passo 4

Vamos usar a fórmula da distância para expressar a distância em função de e :
Queremos encontrar os pontos na elipse onde essa distância é mínima e máxima.

Passo 5

Para encontrar o ponto mais próximo e o mais distante da reta na elipse, podemos usar o método de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função sujeita a uma restrição. Aqui, queremos otimizar sujeito à equação da elipse.
Mas para simplificar, vamos considerar que é constante e maximizar ou minimizar o numerador , já que o denominador não afeta o ponto onde ocorre o mínimo ou o máximo.

Passo 6

Então, nosso objetivo é maximizar e minimizar com a restrição .
Vamos eliminar o valor absoluto para facilitar a análise, considerando duas situações:
Onde é a constante de distância que queremos encontrar.

Passo 7

Agora, substituímos da equação da reta na equação da elipse. Isolando na reta:
Substituindo na elipse:

Passo 8

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :
Multiplicando todos os termos por 16 para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 9

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, vemos que o discriminante é negativo ( ), o que indica que não há solução real. Isso significa que a reta não intercepta a elipse .

Passo 10

Como a reta não intersecta a elipse, o ponto mais próximo e o mais distante ocorrerão nos extremos da elipse em direção à reta. Para encontrar esses pontos, podemos utilizar a parametrização da elipse.
A parametrização da elipse é:

Passo 11

Substituindo na expressão da distância :
Queremos encontrar os valores de que minimizam e maximizam .

Passo 12

Para otimizar , podemos derivar em relação a e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Porém, devido à complexidade, é mais eficiente usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar os valores de que atendem às condições de mínimo e máximo.

Passo 13

Após resolver numericamente, os pontos na elipse que são mais próximos e mais distantes da reta são aproximadamente:
  • Ponto mais próximo:
  • Ponto mais distante:
Nota: Para obter valores exatos, seria necessário resolver a equação trigerométrica resultante ou utilizar software computacional.

Resposta

Os pontos na elipse que são mais próximos e mais distantes da reta são determinados pelos extremos da distância calculada, considerando a não interseção entre a reta e a elipse. Os pontos exatos requerem resolução numérica adicional.

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(b)