Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como teste da convergência absoluta e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha a série sem o fator alternado , ou seja, vamos analisar .

Passo 3

Para ver se essa série converge, podemos usar o Teste da Integral. Isso porque a função é positiva, contínua e decrescente para .

Passo 4

Vamos calcular a integral . Fazendo a substituição , temos . Assim, a integral fica:

Passo 5

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge. Ou seja, a série original não converge absolutamente.

Passo 6

Agora, vamos verificar a converg��ncia condicional usando o Teste da Série Alternada. Precisamos checar duas coisas:
  1. A sequência é decrescente para grande.

Passo 7

Calculando o limite:
E observando que é decrescente para , satisfaça as condições do Teste da Série Alternada.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
(d)
Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .
(d)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(b)