Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge: sumn=2^infty(-1)^n ln nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a série sumn=2^infty (-1)^n ln nn converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como teste da convergência absoluta e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha a série sem o fator alternado (-1)^n, ou seja, vamos analisar sumn=2^infty ln nn.

Passo 3

Para ver se essa série converge, podemos usar o Teste da Integral. Isso porque a função f(n) = ln nn é positiva, contínua e decrescente para n >= 2.

Passo 4

Vamos calcular a integral integral2^infty ln xx dx. Fazendo a substituição u = ln x, temos du = 1x dx. Assim, a integral fica:
integralu=ln 2^infty u , du = u^22 |ln 2^infty = infty

Passo 5

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty ln nn também diverge. Ou seja, a série original não converge absolutamente.

Passo 6

Agora, vamos verificar a converg��ncia condicional usando o Teste da Série Alternada. Precisamos checar duas coisas:
  1. limn to infty ln nn = 0
  2. A sequência ln nn é decrescente para n grande.

Passo 7

Calculando o limite:
limn to infty ln nn = 0
E observando que f(n) = ln nn é decrescente para n >= 3, satisfaça as condições do Teste da Série Alternada.

Resposta

A série sumn=2^infty (-1)^n ln nn converge condicionalmente.

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