Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como teste da convergência absoluta e o teste da série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente olha a série sem o fator alternado , ou seja, vamos analisar .
Passo 3
Para ver se essa série converge, podemos usar o Teste da Integral. Isso porque a função é positiva, contínua e decrescente para .
Passo 4
Vamos calcular a integral . Fazendo a substituição , temos . Assim, a integral fica:
Passo 5
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty ln nn também diverge. Ou seja, a série original não converge absolutamente.
Passo 6
Agora, vamos verificar a converg��ncia condicional usando o Teste da Série Alternada. Precisamos checar duas coisas:
limn to infty ln nn = 0
A sequência ln nn é decrescente para n grande.
Passo 7
Calculando o limite:
limn to infty ln nn = 0
E observando que f(n) = ln nn é decrescente para n >= 3, satisfaça as condições do Teste da Série Alternada.
Resposta
A série sumn=2^infty (-1)^n ln nnconverge condicionalmente.