Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(d) r(t) = (t, 2, cos(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o hodógrafo da função vetorial . Isso envolve trabalhar com vetores posição e velocidade. Para resolver, vamos precisar entender como derivar vetores e o que é um hodógrafo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor velocidade vec(v)(t). A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de vec(r)(t):
Calculando cada derivada:
Então, temos:

Passo 3

Agora que temos o vetor velocidade, vamos entender o que é um hodógrafo. O hodógrafo é o gráfico do vetor velocidade vec(v)(t) no espaço. Basicamente, ele mostra como a velocidade do ponto em movimento varia ao longo do tempo.

Passo 4

Vamos analisar cada componente de vec(v)(t):
  • O componente é constante, ou seja, a velocidade na direção x não muda com o tempo.
  • O componente indica que não há movimento na direção y.
  • O componente varia com o tempo de forma oscilatória.

Passo 5

Para esboçar o hodógrafo, vamos plotar os componentes de vec(v)(t) no espaço 3D. Como é sempre 1 e é sempre 0, o único componente que varia é .
Isso significa que o hodógrafo será uma linha vertical ao longo de e , com oscilando entre -1 e 1 conforme .

Passo 6

Visualmente, o hodógrafo será uma linha reta paralela ao eixo , passando pelo ponto , e com uma oscilação senoidal ao longo do eixo . Isso reflete o fato de que a velocidade na direção z está oscilando enquanto as outras componentes permanecem constantes.

Resposta

O hodógrafo da função vetorial é uma linha vertical ao longo de e , com o componente oscilando sinusoidalmente entre -1 e 1. Visualmente, é uma linha reta paralela ao eixo passando pelo ponto , representando a variação da velocidade na direção z ao longo do tempo.

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