Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o hodógrafo da função vetorial
. Isso envolve trabalhar com vetores posição e velocidade. Para resolver, vamos precisar entender como derivar vetores e o que é um hodógrafo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor velocidade
. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
:
Calculando cada derivada:
Então, temos:
Passo 3
Agora que temos o vetor velocidade, vamos entender o que é um hodógrafo. O hodógrafo é o gráfico do vetor velocidade
no espaço. Basicamente, ele mostra como a velocidade do ponto em movimento varia ao longo do tempo.
Passo 4
Vamos analisar cada componente de
:
- O componente
é constante, ou seja, a velocidade na direção x não muda com o tempo. - O componente
indica que não há movimento na direção y. - O componente
varia com o tempo de forma oscilatória.
Passo 5
Para esboçar o hodógrafo, vamos plotar os componentes de
no espaço 3D. Como
é sempre 1 e
é sempre 0, o único componente que varia é
.
Isso significa que o hodógrafo será uma linha vertical ao longo de
e
, com
oscilando entre -1 e 1 conforme
.
Passo 6
Visualmente, o hodógrafo será uma linha reta paralela ao eixo
, passando pelo ponto
, e com uma oscilação senoidal ao longo do eixo
. Isso reflete o fato de que a velocidade na direção z está oscilando enquanto as outras componentes permanecem constantes.
Resposta
O hodógrafo da função vetorial
é uma linha vertical ao longo de
e
, com o componente
oscilando sinusoidalmente entre -1 e 1. Visualmente, é uma linha reta paralela ao eixo
passando pelo ponto
, representando a variação da velocidade na direção z ao longo do tempo.
Exercícios relacionados
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
12.
12.
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
17.
17.
Determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
(e)
(e)