Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o hodógrafo da função vetorial . Isso envolve trabalhar com vetores posição e velocidade. Para resolver, vamos precisar entender como derivar vetores e o que é um hodógrafo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :
Calculando cada derivada:
Então, temos:

Passo 3

Agora que temos o vetor velocidade, vamos entender o que é um hodógrafo. O hodógrafo é o gráfico do vetor velocidade no espaço. Basicamente, ele mostra como a velocidade do ponto em movimento varia ao longo do tempo.

Passo 4

Vamos analisar cada componente de :
  • O componente é constante, ou seja, a velocidade na direção x não muda com o tempo.
  • O componente indica que não há movimento na direção y.
  • O componente varia com o tempo de forma oscilatória.

Passo 5

Para esboçar o hodógrafo, vamos plotar os componentes de no espaço 3D. Como é sempre 1 e é sempre 0, o único componente que varia é .
Isso significa que o hodógrafo será uma linha vertical ao longo de e , com oscilando entre -1 e 1 conforme .

Passo 6

Visualmente, o hodógrafo será uma linha reta paralela ao eixo , passando pelo ponto , e com uma oscilação senoidal ao longo do eixo . Isso reflete o fato de que a velocidade na direção z está oscilando enquanto as outras componentes permanecem constantes.

Resposta

O hodógrafo da função vetorial é uma linha vertical ao longo de e , com o componente oscilando sinusoidalmente entre -1 e 1. Visualmente, é uma linha reta paralela ao eixo passando pelo ponto , representando a variação da velocidade na direção z ao longo do tempo.

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Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
12.
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
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17.
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(e)