Determine a derivada direcional de
no ponto dado na direção do vetor
dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável varia, mantendo a outra constante.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 4
Em seguida, precisamos transformar o vetor
em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a norma de
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
Agora, a derivada direcional de
na direção de
é o produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é 0.
Exercícios relacionados
Se
, determine o gradiente de
e determine a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
Suponha que que a temperatura em um ponto
do espaço seja dada por
, onde
é a medida em graus Celsius e
e
em metros. Em que direção no ponto
a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação
, onde
e
são medidas em metros e você está em um ponto com coordenadas
. O eixo
positivo aponta para leste e o eixo
positivo
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?