Determine a derivada direcional de
no ponto dado na direção do vetor
dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável varia, mantendo a outra constante.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 4
Em seguida, precisamos transformar o vetor
em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a norma de
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
Agora, a derivada direcional de
na direção de
é o produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é 0.