Determine a derivada direcional de no ponto dado na direção do vetor dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável varia, mantendo a outra constante.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 4

Em seguida, precisamos transformar o vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a norma de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, a derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é 0.

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Se , determine o gradiente de e determine a derivada direcional de no ponto na direção do vetor
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