Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação
, onde
e
são medidas em metros e você está em um ponto com coordenadas
. O eixo
positivo aponta para leste e o eixo
positivo
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa entender como está a montanha, que é definida pela equação
. A gente vai usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e gradiente, para descobrir se, ao andar para o sul, você vai subir ou descer, e também qual a direção com maior inclinação e a taxa de elevação nessa direção. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a
e
, e depois usar essas informações para responder às perguntas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Isso vai nos dar o gradiente da função, que mostra a direção de subida mais rápida na montanha.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico onde você está, que tem as coordenadas
. Substituindo
e
nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Quando você anda exatamente para o sul, sua direção é na direção negativa de
, ou seja, o vetor direção é
.
Para saber se você vai subir ou descer e a taxa com que isso acontece, vamos calcular a derivada direcional na direção do sul usando o gradiente:
Como o resultado é positivo, você está subindo ao andar para o sul, e a taxa de subida é de
.
Passo 5
A direção da inclinação mais acentuada é dada pelo próprio gradiente
. Para encontrar essa direção, vamos normalizar o gradiente:
A direção do gradiente é então:
A taxa de elevaç��o nessa direção é igual à magnitude do gradiente, que é aproximadamente
.
Resposta
Ao andar exatamente para o sul, você começará a subir com uma taxa de
. A inclinação é maior na direção do gradiente, e a taxa de elevação nessa direção é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional de
no ponto dado na direção do vetor
dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
Se
, determine o gradiente de
e determine a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.