Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação , onde e são medidas em metros e você está em um ponto com coordenadas . O eixo positivo aponta para leste e o eixo positivo
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa entender como está a montanha, que é definida pela equação . A gente vai usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e gradiente, para descobrir se, ao andar para o sul, você vai subir ou descer, e também qual a direção com maior inclinação e a taxa de elevação nessa direção. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a e , e depois usar essas informações para responder às perguntas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Isso vai nos dar o gradiente da função, que mostra a direção de subida mais rápida na montanha.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico onde você está, que tem as coordenadas . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Quando você anda exatamente para o sul, sua direção é na direção negativa de , ou seja, o vetor direção é .
Para saber se você vai subir ou descer e a taxa com que isso acontece, vamos calcular a derivada direcional na direção do sul usando o gradiente:
Como o resultado é positivo, você está subindo ao andar para o sul, e a taxa de subida é de .

Passo 5

A direção da inclinação mais acentuada é dada pelo próprio gradiente . Para encontrar essa direção, vamos normalizar o gradiente:
A direção do gradiente é então:
A taxa de elevaç��o nessa direção é igual à magnitude do gradiente, que é aproximadamente .

Resposta

Ao andar exatamente para o sul, você começará a subir com uma taxa de . A inclinação é maior na direção do gradiente, e a taxa de elevação nessa direção é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional de no ponto dado na direção do vetor dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
Se , determine o gradiente de e determine a derivada direcional de no ponto na direção do vetor
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .