lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2+2 y^2. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, onde analisamos limites de funções com mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar entender como esses limites funcionam e usar algumas técnicas para verificar se o limite existe e qual é o valor.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar ver o que acontece quando nos aproximamos do ponto (0,0) ao longo de diferentes caminhos. Isso ajuda a verificar se o limite é o mesmo independente de como chegamos lá.

Passo 3

Vamos começar pelo caminho mais fácil: definir y = 0. Substituindo na função, temos:
x^4 - 0^4x^2 + 2 cdot 0^2 = x^4x^2 = x^2
Quando x se aproxima de 0, x^2 também se aproxima de 0. Então, nesse caminho, o limite é 0.

Passo 4

Agora vamos tentar outro caminho: definir x = 0. Substituindo na função:
0^4 - y^40^2 + 2 y^2 = -y^42 y^2 = -y^22
Quando y se aproxima de 0, -y^22 também se aproxima de 0. Então, nesse caminho, o limite também é 0.

Passo 5

Para garantir que o limite é realmente 0, vamos usar coordenadas polares. Nesse sistema, x = r cosθ e y = r sinθ, onde r é a distância até a origem e θ é o ângulo. Substituindo na função:
(r cosθ)^4 - (r sinθ)^4(r cosθ)^2 + 2 (r sinθ)^2 = r^4 (cos^4θ - sin^4θ)r^2 (cos^2θ + 2 sin^2θ) = r^2 cdot cos^4θ - sin^4θcos^2θ + 2 sin^2θ
À medida que r se aproxima de 0, o termo r^2 também se aproxima de 0, independente do valor de θ. Isso confirma que o limite é 0 em qualquer caminho que escolhermos.

Resposta

O limite é 0.

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