Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, onde analisamos limites de funções com mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar entender como esses limites funcionam e usar algumas técnicas para verificar se o limite existe e qual é o valor.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar ver o que acontece quando nos aproximamos do ponto (0,0) ao longo de diferentes caminhos. Isso ajuda a verificar se o limite é o mesmo independente de como chegamos lá.
Passo 3
Vamos começar pelo caminho mais fácil: definir y = 0. Substituindo na função, temos:
Quando x se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então, nesse caminho, o limite é 0.
Passo 4
Agora vamos tentar outro caminho: definir x = 0. Substituindo na função:
Quando y se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então, nesse caminho, o limite também é 0.
Passo 5
Para garantir que o limite é realmente 0, vamos usar coordenadas polares. Nesse sistema, x = r cosθ e y = r sinθ, onde r é a distância até a origem e θ é o ângulo. Substituindo na função:
À medida que r se aproxima de 0, o termo
também se aproxima de 0, independente do valor de θ. Isso confirma que o limite é 0 em qualquer caminho que escolhermos.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação
, onde
e
são medidas em metros e você está em um ponto com coordenadas
. O eixo
positivo aponta para leste e o eixo
positivo
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?
Determine a derivada direcional de
no ponto dado na direção do vetor
dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.