Se
, determine o gradiente de
e determine a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem a função e precisa encontrar o gradiente dela. Depois, vamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja, vamos calcular
,
e
.
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
na expressão do gradiente:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada direcional na direção do vetor
. Primeiro, precisamos transformar
em um vetor unitário. Para isso, vamos dividir cada componente de
pelo seu comprimento.
O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é dada pelo produto interno (ou escalar) entre o gradiente de
no ponto e o vetor unitário
:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O gradiente de
é
e a derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.