Se
, determine o gradiente de
e determine a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem a função e precisa encontrar o gradiente dela. Depois, vamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja, vamos calcular
,
e
.
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
na expressão do gradiente:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada direcional na direção do vetor
. Primeiro, precisamos transformar
em um vetor unitário. Para isso, vamos dividir cada componente de
pelo seu comprimento.
O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é dada pelo produto interno (ou escalar) entre o gradiente de
no ponto e o vetor unitário
:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O gradiente de
é
e a derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
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Suponha que que a temperatura em um ponto
do espaço seja dada por
, onde
é a medida em graus Celsius e
e
em metros. Em que direção no ponto
a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Determine a derivada direcional de
no ponto dado na direção do vetor
dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
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no ponto dado na direção do vetor
dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
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, onde
e
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. O eixo
positivo aponta para leste e o eixo
positivo
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?
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