Se f(x, y, z) = x * sen(y * z), determine o gradiente de f e determine a derivada direcional de f no ponto 1,3,0 na direção do vetor v = i + 2j - k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem a função e precisa encontrar o gradiente dela. Depois, vamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja, vamos calcular , e .
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e na expressão do gradiente:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada direcional na direção do vetor . Primeiro, precisamos transformar em um vetor unitário. Para isso, vamos dividir cada componente de pelo seu comprimento.
O comprimento de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

A derivada direcional de no ponto na direção de é dada pelo produto interno (ou escalar) entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário :
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O gradiente de é e a derivada direcional de no ponto na direção de é .

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