Se , determine o gradiente de e determine a derivada direcional de no ponto na direção do vetor

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem a função e precisa encontrar o gradiente dela. Depois, vamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja, vamos calcular , e .
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e na expressão do gradiente:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada direcional na direção do vetor . Primeiro, precisamos transformar em um vetor unitário. Para isso, vamos dividir cada componente de pelo seu comprimento.
O comprimento de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

A derivada direcional de no ponto na direção de é dada pelo produto interno (ou escalar) entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário :
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O gradiente de é e a derivada direcional de no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados

Suponha que que a temperatura em um ponto do espaço seja dada por , onde é a medida em graus Celsius e e em metros. Em que direção no ponto a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
Determine a derivada direcional de no ponto dado na direção do vetor dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
Determine a derivada direcional de no ponto dado na direção do vetor dado: (não esqueça de observar se o vetor é unitário!)
.
Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação , onde e são medidas em metros e você está em um ponto com coordenadas . O eixo positivo aponta para leste e o eixo positivo
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?