(2,0) Determine a derivada direcional de no ponto na direção .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor .
Conteúdo da matéria: Derivadas direcionais, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável.
O que vamos precisar para resolver:
  1. Gradiente da função : Representa a direção de maior aumento de .
  2. Vetores unitários: Para normalizar o vetor direção.
  3. Produto escalar: Para calcular a derivada direcional.

Passo 2

Passo 2: Encontrar o vetor unitário na direção de .
Primeiro, precisamos transformar o vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1.
A fórmula para encontrar o vetor unitário na direção de é:
Onde é a norma (ou comprimento) de .
Calculando a norma de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 3

Passo 3: Calcular o gradiente da função no ponto .
O gradiente de , denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de . Se é uma função de três variáveis , então:
Avaliar o gradiente no ponto :
Substituímos , e nas derivadas parciais para obter .
Nota: Sem a expressão específica de , não podemos calcular os valores numéricos das derivadas parciais. Porém, o procedimento geral é este.

Passo 4

Passo 4: Calcular a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário.
A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário :
Isso significa que multiplicamos componentes correspondentes de e e somamos os resultados.

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é dada por:
Para obter um valor numérico, substitua as derivadas parciais de avaliadas em na expressão acima.

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