(2,0) Determine a derivada direcional de
no ponto
na direção
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor
.
Conteúdo da matéria: Derivadas direcionais, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável.
O que vamos precisar para resolver:
- Gradiente da função
: Representa a direção de maior aumento de . - Vetores unitários: Para normalizar o vetor direção.
- Produto escalar: Para calcular a derivada direcional.
Passo 2
Passo 2: Encontrar o vetor unitário na direção de
.
Primeiro, precisamos transformar o vetor
em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1.
A fórmula para encontrar o vetor unitário
na direção de
é:
Onde
é a norma (ou comprimento) de
.
Calculando a norma de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 3
Passo 3: Calcular o gradiente da função
no ponto
.
O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
. Se
é uma função de três variáveis
, então:
Avaliar o gradiente no ponto
:
Substituímos
,
e
nas derivadas parciais para obter
.
Nota: Sem a expressão específica de
, não podemos calcular os valores numéricos das derivadas parciais. Porém, o procedimento geral é este.
Passo 4
Passo 4: Calcular a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário.
A derivada direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
no ponto
e o vetor unitário
:
Isso significa que multiplicamos componentes correspondentes de
e
e somamos os resultados.
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é dada por:
Para obter um valor numérico, substitua as derivadas parciais de
avaliadas em
na expressão acima.
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