Passo 1
Aqui a gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica eficiente para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, comparando com
, temos:
Passo 3
Agora, calculamos o fator integrante. Ele é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
A parte esquerda da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Então, temos:
Para isolar
, multiplicamos todos os termos por
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: