Passo 1

Aqui a gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica eficiente para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, comparando com , temos:

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante. Ele é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
A parte esquerda da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente .

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Então, temos:
Para isolar , multiplicamos todos os termos por :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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(2,0) Determine a derivada direcional de no ponto na direção .
Calcule o determinante das matrizes abaixo:
g)
Um tanque estava inicialmente com 10 litros de água. A torneira desse tanque foi aberta enchendo de água na razão de 5 litros por segundo.
a) Escrevam a função que representa a quantidade de água após segundos.
Um tanque estava inicialmente com 10 litros de água. A torneira desse tanque foi aberta enchendo de água na razão de 5 litros por segundo.
b) Quantos litros terão no tanque após 125 s?