Determine a derivada direcional de em na direção e sentido do eixo negativo.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção e sentido do eixo negativo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores de direção.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor de direção na qual vamos calcular a derivada direcional. Como queremos a direção do eixo negativo, o vetor de direção é . É importante que esse vetor seja unitário (ou seja, tenha comprimento 1). Neste caso, já é um vetor unitário porque .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Primeira a derivada parcial em relação a :
Simplificando:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

A derivada direcional é calculada pelo produto escalar entre o vetor gradiente da função no ponto e o vetor de direção. O gradiente é formado pelas derivadas parciais:
Então, no ponto :
O vetor de direção é . O produto escalar é:

Resposta

A derivada direcional de em na direção e sentido do eixo negativo é .

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Se e , determine
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Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano . .