Determine a derivada direcional de
em
na direção e sentido do eixo
negativo.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção e sentido do eixo
negativo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e vetores de direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o vetor de direção na qual vamos calcular a derivada direcional. Como queremos a direção do eixo
negativo, o vetor de direção é
. É importante que esse vetor seja unitário (ou seja, tenha comprimento 1). Neste caso,
já é um vetor unitário porque
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Primeira a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Para
:
Para
:
Passo 5
A derivada direcional é calculada pelo produto escalar entre o vetor gradiente da função no ponto e o vetor de direção. O gradiente
é formado pelas derivadas parciais:
Então, no ponto
:
O vetor de direção é
. O produto escalar é:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção e sentido do eixo
negativo é
.
Exercícios relacionados
Se
e
, determine
Verifique, em cada item, que as funções
e
são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano
.
.