Se
e
, determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que envolve o Wronskiano de duas funções, que é uma ferramenta usada em cálculo para verificar a independência linear de soluções de equações diferenciais. O enunciado nos dá o Wronskiano
e uma das funções
. Nosso objetivo é descobrir qual é a segunda função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções
e
, o Wronskiano é definido como:
Onde
e
são as derivadas das funções em relação a
.
Passo 3
Sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula do Wronskiano:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, fatoramos
:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear do tipo:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Onde
(o coeficiente de
).
Passo 6
Calculando o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 7
Observe que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Se considerarmos a solução particular onde
, temos:
Resposta
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Determine a derivada direcional de
em
na direção e sentido do eixo
negativo.