Se e , determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que envolve o Wronskiano de duas funções, que é uma ferramenta usada em cálculo para verificar a independência linear de soluções de equações diferenciais. O enunciado nos dá o Wronskiano e uma das funções . Nosso objetivo é descobrir qual é a segunda função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é definido como:
Onde e são as derivadas das funções em relação a .

Passo 3

Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na fórmula do Wronskiano:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, fatoramos :
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear do tipo:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Onde (o coeficiente de ).

Passo 6

Calculando o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 7

Observe que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Então podemos escrever:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :
Se considerarmos a solução particular onde , temos:

Resposta

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Determine a derivada direcional de em na direção e sentido do eixo negativo.
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