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Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função definida por partes: , e ela se repete todo unidades (período ). A gente precisa encontrar a série de Fourier em cossenos para essa função. Para isso, vamos usar as fórmulas da série de Fourier para funções pares, que só usam cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em cossenos para uma função par com período é dada por:
onde . Aqui, , então .

Passo 3

A gente precisa calcular os coeficientes e . A fórmula para é:
Vamos calcular isso primeiro.

Passo 4

Substituindo os valores, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para . A fórmula é:
Substituindo e :

Passo 6

Vamos resolver a integral:

Passo 7

Portanto, os coeficientes são:
Observando que alterna entre dependendo de .

Resposta

A série de Fourier em cossenos para a função dada é:

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Determine a derivada direcional de em na direção e sentido do eixo negativo.
Se e , determine
Verifique, em cada item, que as funções e são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano . .
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