encontre a série de Fourier indicada para a função dada: f(x)=ll1, & 0éçãé

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma função definida por partes: 1, & 0 < x < 1 0, & 1 < x < 2 , e ela se repete todo unidades (período ). A gente precisa encontrar a série de Fourier em cossenos para essa função. Para isso, vamos usar as fórmulas da série de Fourier para funções pares, que só usam cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em cossenos para uma função par com período f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(npi xL) é dada por:
onde . Aqui, , então .

Passo 3

A gente precisa calcular os coeficientes a0 = 2T integral0^T f(x) , dx e . A fórmula para é:
Vamos calcular isso primeiro.

Passo 4

Substituindo os valores, temos:
a0 = 24 ( integral0^1 1 , dx + integral1^2 0 , dx ) = 12 (1 - 0) = 12

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 2T integral0^T f(x) cos(npi xL) dx para an = 24 ( integral0^1 1 cdot cos(npi x2) dx + integral1^2 0 cdot cos(npi x2) dx ) = 12 integral0^1 cos(npi x2) dx . A fórmula é:
Substituindo e :

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral0^1 cos(npi x2) dx = [ 2npi sin(npi x2) ]0^1 = 2npi ( sin(npi2) - 0 ) = 2npi sin(npi2)

Passo 7

Portanto, os coeficientes an = 12 cdot 2npi sin(npi2) = sin(npi2)npi são:
Observando que alterna entre dependendo de .

Resposta

A série de Fourier em cossenos para a função dada é:
f(x) = 14 + sumn=1^infty sin(npi2)npi cos(npi x2)

Exercícios relacionados