Passo 1
Beleza, então a gente tem uma função definida por partes:
, e ela se repete todo
unidades (período
). A gente precisa encontrar a série de Fourier em cossenos para essa função. Para isso, vamos usar as fórmulas da série de Fourier para funções pares, que só usam cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em cossenos para uma função par com período
é dada por:
onde
. Aqui,
, então
.
Passo 3
A gente precisa calcular os coeficientes
e
. A fórmula para
é:
Vamos calcular isso primeiro.
Passo 4
Substituindo os valores, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula é:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Passo 7
Portanto, os coeficientes
são:
Observando que
alterna entre
dependendo de
.
Resposta
A série de Fourier em cossenos para a função dada é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional de
em
na direção e sentido do eixo
negativo.
Se
e
, determine
Verifique, em cada item, que as funções
e
são soluções da EDO dada e determine em qual intervalo elas formam um conjunto fundamental de soluções utilizando o wronskiano
.
.