Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função
é contínua em toda a reta real. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se não tiver “quebras”, “furos” ou “saltos” nesse ponto. No caso das funções racionais, ou seja, aquelas que são frações de polinômios, a continuidade depende principalmente dos valores que fazem o denominador ser zero, já que esses pontos tornam a função indefinida.
Passo 3
Vamos analisar o denominador da função
:
Para encontrar onde o denominador é zero, resolvemos:
Então, a função
está indefinida em
e
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o numerador:
Vamos fatorar esse polinômio:
Então, a função fica:
Passo 5
Perceba que podemos cancelar o termo
no numerador e denominador, mas somente se
. Assim, a função simplificada é:
Isso significa que, exceto em
, a função está definida.
Passo 6
Agora, vamos verificar o comportamento em
. Calculando o limite quando
se aproxima de 4:
O limite existe, mas como a função original não está definida exatamente em
, temos um ponto removível de descontinuidade ali.
Passo 7
Em resumo, a função
não está definida em
e
, o que significa que ela não é contínua nesses pontos. Portanto, a função não é contínua em toda a reta real.
Resposta
A função
não é contínua em toda a reta real porque ela não está definida em
e
, apresentando descontinuidades nesses pontos.