Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
10. g(x) = (x^2 - 9x + 20) / (x^2 - 16)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função é contínua em toda a reta real. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se não tiver “quebras”, “furos” ou “saltos” nesse ponto. No caso das funções racionais, ou seja, aquelas que são frações de polinômios, a continuidade depende principalmente dos valores que fazem o denominador ser zero, já que esses pontos tornam a função indefinida.

Passo 3

Vamos analisar o denominador da função :
Para encontrar onde o denominador é zero, resolvemos:
Então, a função está indefinida em e .

Passo 4

Agora, vamos olhar para o numerador:
Vamos fatorar esse polinômio:
Então, a função fica:

Passo 5

Perceba que podemos cancelar o termo no numerador e denominador, mas somente se . Assim, a função simplificada é:
Isso significa que, exceto em , a função está definida.

Passo 6

Agora, vamos verificar o comportamento em . Calculando o limite quando se aproxima de 4:
O limite existe, mas como a função original não está definida exatamente em , temos um ponto removível de descontinuidade ali.

Passo 7

Em resumo, a função não está definida em e , o que significa que ela não é contínua nesses pontos. Portanto, a função não é contínua em toda a reta real.

Resposta

A função não é contínua em toda a reta real porque ela não está definida em e , apresentando descontinuidades nesses pontos.

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