Determine a derivada direcional de
em
na direção e sentido de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção e sentido de
a
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o vetor direcional, encontrar o gradiente da função e, por fim, aplicar tudo isso para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de
a
. Para isso, subtraímos as coordenadas de
das coordenadas de
:
Esse vetor aponta na direção que queremos analisar.
Passo 3
Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos o módulo do vetor
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 5
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada:
Calculando o produto escalar:
Para racionalizar o denominador:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção e sentido de
a
é
.