Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = y / (x + z) em P(2, 1, -1) na direção e sentido de P a Q(-1, 2, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção e sentido de a . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o vetor direcional, encontrar o gradiente da função e, por fim, aplicar tudo isso para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de a . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Esse vetor aponta na direção que queremos analisar.

Passo 3

Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos o módulo do vetor :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Agora, avaliamos o gradiente no ponto :

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor unitário na direção desejada:
Calculando o produto escalar:
Para racionalizar o denominador:

Resposta

A derivada direcional de em na direção e sentido de a é .

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