Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas coisas para a superfície no ponto :
A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
A equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradiente, que nos ajudam a encontrar vetores normais à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a superfície de . A gente quer igualar essa expressão a 4, então reescrevemos como .
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos do vetor normal à superfície no ponto dado. Esse vetor normal é o gradiente de , que é dado pelas derivadas parciais de em relação a , e .
Vamos calcular o gradiente :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Então, o gradiente no ponto é .
Passo 5
Equação do Plano Tangente:
A equação do plano tangente a uma superfície no ponto é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 6
Equação da Reta Normal:
A reta normal passa pelo ponto e tem como direção o vetor normal . A equação paramétrica da reta é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e é um parâmetro.