Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
© x^2 + y^2 - z^2 - 2xy + 4xz = 4, (1,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas coisas para a superfície no ponto :
  1. A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
  2. A equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e gradiente, que nos ajudam a encontrar vetores normais à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a superfície de . A gente quer igualar essa expressão a 4, então reescrevemos como .

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, precisamos do vetor normal à superfície no ponto dado. Esse vetor normal é o gradiente de , que é dado pelas derivadas parciais de em relação a , e .
Vamos calcular o gradiente :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Então, o gradiente no ponto é .

Passo 5

Equação do Plano Tangente:
A equação do plano tangente a uma superfície no ponto é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 6

Equação da Reta Normal:
A reta normal passa pelo ponto e tem como direção o vetor normal . A equação paramétrica da reta é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e é um parâmetro.
Substituindo:

Resposta

(i) A equação do plano tangente é .
(ii) A equação paramétrica da reta normal é:
onde é um parâmetro real.

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