Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o hodógrafo da função vetorial
. O hodógrafo é basicamente o gráfico da velocidade do vetor posição em função do tempo. Para isso, vamos precisar usar conhecimento de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o hodógrafo. O hodógrafo é o caminho percorrido pela velocidade do movimento. Ou seja, se a nossa função vetorial
descreve a posição, a derivada dela em relação ao tempo,
, vai nos dar a velocidade em cada instante de tempo.
Passo 3
Então, vamos calcular a derivada da função vetorial
. A função dada é:
A derivada dessa função em relação a
é:
Passo 4
Agora que temos a função velocidade
, vamos analisar como ela se comporta no plano. Observamos que os componentes de
são funções seno e cosseno com amplitude 3, o que sugere que o hodógrafo será um círculo.
Passo 5
Para confirmar, podemos verificar a equação do hodógrafo. Se considerarmos
, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado e somando:
Isso é a equação de um círculo com raio 3 e centro na origem.
Resposta
O hodógrafo da função vetorial
é um círculo de raio 3 centrado na origem.