Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
© r(t) = (3 cos(t), 3 sen(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o hodógrafo da função vetorial . O hodógrafo é basicamente o gráfico da velocidade do vetor posição em função do tempo. Para isso, vamos precisar usar conhecimento de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o hodógrafo. O hodógrafo é o caminho percorrido pela velocidade do movimento. Ou seja, se a nossa função vetorial vec(r)(t) descreve a posição, a derivada dela em relação ao tempo, , vai nos dar a velocidade em cada instante de tempo.

Passo 3

Então, vamos calcular a derivada da função vetorial vec(r)(t). A função dada é:
A derivada dessa função em relação a t é:

Passo 4

Agora que temos a função velocidade , vamos analisar como ela se comporta no plano. Observamos que os componentes de vec(v)(t) são funções seno e cosseno com amplitude 3, o que sugere que o hodógrafo será um círculo.

Passo 5

Para confirmar, podemos verificar a equação do hodógrafo. Se considerarmos , temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado e somando:
Isso é a equação de um círculo com raio 3 e centro na origem.

Resposta

O hodógrafo da função vetorial é um círculo de raio 3 centrado na origem.

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