Determine
em
.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para determinar
no ponto
. Isso significa que queremos encontrar a derivada direcional da função
na direção do vetor
no ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais e como calcular o gradiente da função. Também precisaremos normalizar o vetor direção
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando
:
Usando a regra do quociente:
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Assim, o gradiente de
é:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 7
Agora, precisamos normalizar o vetor direção
. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 8
Finalmente, a derivada direcional
no ponto
é o produto escalar do gradiente de
em
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional
em
na direção de
é
.