Determine Du f em P.
(f) f(x, y, z) = (z - x) / (z + y) ; P(1, 0, -3) ; u = -6 i + 3 j - 2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para determinar no ponto . Isso significa que queremos encontrar a derivada direcional da função na direção do vetor no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais e como calcular o gradiente da função. Também precisaremos normalizar o vetor direção .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando :
Usando a regra do quociente:

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Assim, o gradiente de é:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 7

Agora, precisamos normalizar o vetor direção . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
á

Passo 8

Finalmente, a derivada direcional no ponto é o produto escalar do gradiente de em com o vetor unitário :
á
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional em na direção de é .

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