Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é a taxa de variação máxima da função no ponto e também a direção em que isso acontece. Isso tá ligado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de gradiente. A gente vai precisar calcular o gradiente da função nesse ponto para achar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. No nosso caso:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado . Primeiro, vamos calcular nesse ponto:
Então, temos:
Passo 5
A taxa de variação máxima é igual à magnitude do gradiente. Vamos calcular isso:
Passo 6
A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é a direção do próprio gradiente. Então, o vetor direção é:
Podemos normalizar esse vetor se quisermos expressar como um vetor unitário:
çã
Resposta
A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor .