Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
(b) f(x, y) = cos(3x + 2y), (pi / 6, -pi / 8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual é a taxa de variação máxima da função no ponto e também a direção em que isso acontece. Isso tá ligado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de gradiente. A gente vai precisar calcular o gradiente da função nesse ponto para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. No nosso caso:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado . Primeiro, vamos calcular nesse ponto:
Então, temos:

Passo 5

A taxa de variação máxima é igual à magnitude do gradiente. Vamos calcular isso:

Passo 6

A direção em que ocorre a taxa de variação máxima é a direção do próprio gradiente. Então, o vetor direção é:
Podemos normalizar esse vetor se quisermos expressar como um vetor unitário:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é e ocorre na direção do vetor .

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