Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(a)
$(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre como calcular derivadas em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos mostra a taxa de variação da função
em uma direção específica dada pelo vetor
. Para calcular isso, precisamos encontrar o gradiente da função
.
Passo 3
O gradiente de
é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, precisamos do vetor direção
. Vamos calcular os valores:
Então,
.
Passo 5
A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor direção. Então, vamos fazer esse cálculo:
Resposta
A derivada direcional de
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Usando a regra da cadeia para
e
, calcule
e
:
$(b)
$(b)
Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(b) .
$(b)
Determine a massa, o centro de massa, os momentos de inércia
e
da lâmina que ocupa a região delimitada por
e
e tem função densidade
Encontre o centro de massa e os momentos de inércia
e
de uma lâmina em forma de um triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tem comprimento
, se sua densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do vértice oposto à hipotenusa.
Dica: coloque um vértice no ponto e os lados nos eixos positivos.
Dica: coloque um vértice no ponto