Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre como calcular derivadas em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica dada pelo vetor . Para calcular isso, precisamos encontrar o gradiente da função .

Passo 3

O gradiente de é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Portanto, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, precisamos do vetor direção . Vamos calcular os valores:
Então, .

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor direção. Então, vamos fazer esse cálculo:

Resposta

A derivada direcional de na direção de é .

Exercícios relacionados

Usando a regra da cadeia para e , calcule e :
$(b)
Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(b) .
Determine a massa, o centro de massa, os momentos de inércia e da lâmina que ocupa a região delimitada por e e tem função densidade
Encontre o centro de massa e os momentos de inércia e de uma lâmina em forma de um triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tem comprimento , se sua densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do vértice oposto à hipotenusa.
Dica: coloque um vértice no ponto e os lados nos eixos positivos.