Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(a) a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre como calcular derivadas em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica dada pelo vetor . Para calcular isso, precisamos encontrar o gradiente da função .

Passo 3

O gradiente de é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Portanto, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, precisamos do vetor direção . Vamos calcular os valores:
Então, .

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função e o vetor direção. Então, vamos fazer esse cálculo:

Resposta

A derivada direcional de na direção de é .

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