Encontre o centro de massa e os momentos de inércia e de uma lâmina em forma de um triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tem comprimento , se sua densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do vértice oposto à hipotenusa.
Dica: coloque um vértice no ponto e os lados nos eixos positivos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma lâmina no formato de um triângulo retângulo isósceles, onde os dois lados iguais medem . A densidade dessa lâmina em qualquer ponto é proporcional ao quadrado da distância desse ponto até o vértice oposto à hipotenusa. Nosso objetivo é encontrar o centro de massa dessa lâmina e os momentos de inércia , e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de centros de massa e momentos de inércia para áreas planas, considerando a distribuição de densidade dada. Vamos também usar coordenadas cartesianas, já que a dica sugere colocar um vértice no ponto e os lados nos eixos positivos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas do triângulo. Vamos colocar o vértice reto no ponto , um lado ao longo do eixo até e o outro lado ao longo do eixo até . A hipotenusa, então, será a linha que conecta a .
Passo 3
Agora, precisamos expressar a densidade em termos das coordenadas e . A densidade é proporcional ao quadrado da distância do ponto até o vértice oposto à hipotenusa, que é o vértice . A distância desse ponto ao vértice é , então a densidade pode ser escrita como:
onde é a constante de proporcionalidade.
Passo 4
Vamos agora encontrar a área total do triângulo para facilitar os cálculos do centro de massa. A área de um triângulo retângulo é dada por:
Passo 5
Para encontrar o centro de massa , usamos as fórmulas:
onde é a massa total da lâmina:
Passo 6
Vamos primeiro calcular a massa total :
Como a constante é comum, podemos tirá-la da integral:
Passo 7
Para integrar sobre a área do triângulo, podemos expressar os limites de integração. Para cada entre e , varia de a . Então:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos simplificar a expressão:
Passo 10
Após simplificar e integrar termo a termo, encontramos:
Passo 11
Agora, vamos calcular x̄ usando:
Substituindo M:
Passo 12
Integrando sobre a área do triângulo:
Passo 13
Após calcular as integrais, obtemos:
Então,
Mas isso não faz sentido, já que as coordenadas devem estar dentro do triângulo. Aqui percebemos um erro nos cálculos anteriores. Na verdade, devido à simetria do triângulo isósceles e a densidade simétrica, temos que .
Passo 14
Corrigindo os cálculos, finalmente encontramos que o centro de massa está em: