Determine a massa, o centro de massa, os momentos de inércia e da lâmina que ocupa a região delimitada por e e tem função densidade

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa, o centro de massa e os momentos de inércia e de uma lâmina. Essa lâmina está limitada pelas curvas , , e . A densidade dessa lâmina é dada por .
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especialmente integrais duplas, porque vamos estar trabalhando com uma região bidimensional. Também vamos precisar entender como calcular o centro de massa e os momentos de inércia usando essas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da função densidade sobre a região :
Aqui, representa um elemento de área na região .

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. A região está entre e , e para cada nesse intervalo, vai de até . Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos isso na integral externa:

Passo 5

Resolvemos a integral em relação a :
Aplicando os limites de a :
Então, a massa é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o centro de massa . As fórmulas para as coordenadas do centro de massa são:
Já calculamos . Vamos calcular e para encontrar e .

Passo 7

Primeiro, calculamos :
Resolvendo a integral interna:
Agora, integraremos em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Aplicando os limites de a :

Passo 8

Agora, calculamos :

Passo 9

Agora, vamos calcular :
Resolvendo a integral interna:
Agora, integraremos em relação a :
Então,

Passo 10

Agora, vamos calcular os momentos de inércia , e .
As fórmulas são:

Passo 11

Primeiro, calculamos :
Resolvendo a integral interna:
Agora, integraremos em relação a :

Passo 12

Agora, calculamos :
Resolvendo a integral interna:
Agora, integraremos em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes duas vezes. O resultado é:
Simplificando e aplicando os limites, obtemos:

Passo 13

Finalmente, calculamos :

Resposta

A massa da lâmina é , o centro de massa está nas coordenadas , e os momentos de inércia são , e .

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Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(a)
Usando a regra da cadeia para e , calcule e :
$(b)
Encontre o centro de massa e os momentos de inércia e de uma lâmina em forma de um triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tem comprimento , se sua densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do vértice oposto à hipotenusa.
Dica: coloque um vértice no ponto e os lados nos eixos positivos.
(Pesquisa) Utilize integração dupla para calcular a área de uma esfera de raio .