Determine a massa, o centro de massa, os momentos de inércia
e
da lâmina que ocupa a região delimitada por
e
e tem função densidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a massa, o centro de massa e os momentos de inércia
e
de uma lâmina. Essa lâmina está limitada pelas curvas
,
,
e
. A densidade dessa lâmina é dada por
.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especialmente integrais duplas, porque vamos estar trabalhando com uma região bidimensional. Também vamos precisar entender como calcular o centro de massa e os momentos de inércia usando essas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a massa da lâmina. A massa
é dada pela integral dupla da função densidade
sobre a região
:
Aqui,
representa um elemento de área na região
.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. A região
está entre
e
, e para cada
nesse intervalo,
vai de
até
. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Passo 5
Resolvemos a integral em relação a
:
Aplicando os limites de
a
:
Então, a massa
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o centro de massa
. As fórmulas para as coordenadas do centro de massa são:
Já calculamos
. Vamos calcular
e
para encontrar
e
.
Passo 7
Primeiro, calculamos
:
Resolvendo a integral interna:
Agora, integraremos em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 8
Agora, calculamos
:
Passo 9
Agora, vamos calcular
:
Resolvendo a integral interna:
Agora, integraremos em relação a
:
Então,
Passo 10
Agora, vamos calcular os momentos de inércia
,
e
.
As fórmulas são:
Passo 11
Primeiro, calculamos
:
Resolvendo a integral interna:
Agora, integraremos em relação a
:
Passo 12
Agora, calculamos
:
Resolvendo a integral interna:
Agora, integraremos em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes duas vezes. O resultado é:
Simplificando e aplicando os limites, obtemos:
Passo 13
Finalmente, calculamos
:
Resposta
A massa da lâmina é
, o centro de massa está nas coordenadas
, e os momentos de inércia são
,
e
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(a)
$(a)
Usando a regra da cadeia para
e
, calcule
e
:
$(b)
$(b)
Encontre o centro de massa e os momentos de inércia
e
de uma lâmina em forma de um triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tem comprimento
, se sua densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do vértice oposto à hipotenusa.
Dica: coloque um vértice no ponto e os lados nos eixos positivos.
Dica: coloque um vértice no ponto
(Pesquisa) Utilize integração dupla para calcular a área de uma esfera de raio
.