Determine a derivada direcional da função dada no ponto e na direção de

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor no ponto é calculada usando o gradiente de nesse ponto e o vetor direção . A fórmula é:
Aqui, é o gradiente de no ponto e representa o produto escalar.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

O próximo passo é garantir que o vetor direção esteja normalizado (ou seja, tenha comprimento 1). No caso, já temos:
Como , o vetor já está normalizado.

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção:
Isso significa:

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos de e :
Substituindo na expressão:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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