Sabendo que x(rho, theta, varphi)=rho sen varphi cos theta, y(rho, theta, varphi)=rho sen varphi sen theta e z(rho, theta, varphi)=rho cos varphi, f(x, y, z)= yx e^x^2+y^2+z^2 raizx^2+y^2raizx^2+y^2+z^2 e F(rho, theta, varphi)=f(x, y, z), calcule partial^2 Fpartial rho partial varphi(1, pi3, pi4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada parcial mista de uma função em coordenadas esféricas. O conteúdo envolve derivadas parciais e mudança de coordenadas. Para resolver, vamos precisar das expressões de em termos de e aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de x = rho sin varphi cos theta, y = rho sin varphi sin theta, z = rho cos varphi em termos de F(rho, theta, varphi) = yx e^x^2+y^2+z^2 raizx^2+y^2raizx^2+y^2+z^2 na função para obter . As equações dadas são:
Então, substituindo na função :

Passo 3

Vamos simplificar x^2+y^2+z^2 = (rho sin varphi cos theta)^2 + (rho sin varphi sin theta)^2 + (rho cos varphi)^2 = rho^2 (sin^2 varphi cos^2 theta + sin^2 varphi sin^2 theta + cos^2 varphi) = rho^2 (sin^2 varphi (cos^2 theta + sin^2 theta) + cos^2 varphi) = rho^2 (sin^2 varphi + cos^2 varphi) = rho^2 . Primeiro, note que F(rho, theta, varphi) = yx e^rho^2 rho sin varphirho = yx e^rho^2 sin varphi porque:
F(rho, theta, varphi) = tan theta cdot e^rho^2 sin varphi
Então, e . Além disso, .
Substituindo tudo, temos:
Também, . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial Fpartial varphi = tan theta cdot e^rho^2 cdot cos varphi em relação a :
Isso porque e são constantes em relação a , e a derivada de é .

Passo 5

Em seguida, vamos derivar essa expressão em relação a partial^2 Fpartial rho partial varphi = partialpartial rho ( tan theta cdot e^rho^2 cdot cos varphi ) = tan theta cdot cos varphi cdot partialpartial rho ( e^rho^2 ) :
partial^2 Fpartial rho partial varphi = tan theta cdot cos varphi cdot 2rho e^rho^2 = 2rho tan theta cos varphi , e^rho^2
A derivada de em relação a é , então:

Passo 6

Finalmente, vamos substituir os valores partial^2 Fpartial rho partial varphi(1, pi3, pi4) = 2(1) tan ( pi3 ) cos ( pi4 ) e^1^2 , tan ( pi3 ) = raiz3, cos ( pi4 ) = raiz22, e^1 = e e 2 cdot raiz3 cdot raiz22 cdot e = raiz3 cdot raiz2 cdot e = raiz6 cdot e :
Sabemos que:
Substituindo:

Resposta

partial^2 Fpartial rho partial varphi(1, pi3, pi4) = raiz6 , e

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