Sabendo que e e , calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada parcial mista de uma função em coordenadas esféricas. O conteúdo envolve derivadas parciais e mudança de coordenadas. Para resolver, vamos precisar das expressões de em termos de e aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de em termos de na função para obter . As equações dadas são:
Então, substituindo na função :

Passo 3

Vamos simplificar . Primeiro, note que porque:
Então, e . Além disso, .
Substituindo tudo, temos:
Também, . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a :
Isso porque e são constantes em relação a , e a derivada de é .

Passo 5

Em seguida, vamos derivar essa expressão em relação a :
A derivada de em relação a é , então:

Passo 6

Finalmente, vamos substituir os valores , e :
Sabemos que:
Substituindo:

Resposta

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