Sabendo que
e
e
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada parcial mista de uma função
em coordenadas esféricas. O conteúdo envolve derivadas parciais e mudança de coordenadas. Para resolver, vamos precisar das expressões de
em termos de
e aplicar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as expressões de
em termos de
na função
para obter
. As equações dadas são:
Então, substituindo na função
:
Passo 3
Vamos simplificar
. Primeiro, note que
porque:
Então,
e
. Além disso,
.
Substituindo tudo, temos:
Também,
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Isso porque
e
são constantes em relação a
, e a derivada de
é
.
Passo 5
Em seguida, vamos derivar essa expressão em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
, então:
Passo 6
Finalmente, vamos substituir os valores
,
e
:
Sabemos que:
Substituindo:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
uma função dada por
, com
e
. Sabendo que
, calcule as derivadas parciais de
no ponto
.
Determine as cocrdenadas do vértice da função quadrática expressa por
Encontre o conjunto solução da inequação
Determine a derivada direcional da função dada no ponto
e na direção de