Determine a derivada direcional da função dada no ponto e na direção de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve cálculo de derivadas parciais e vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular :
Usando a regra da cadeia:
No ponto :

Passo 4

Agora, :
No ponto :

Passo 5

E :
No ponto :

Passo 6

Então, o gradiente no ponto é:

Passo 7

Agora, precisamos normalizar o vetor . O vetor unitário na direção de é:

Passo 8

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Calculando:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção de é .

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