Determine a derivada direcional da função dada no ponto
e na direção de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular
:
Usando a regra da cadeia:
No ponto
:
Passo 4
Agora,
:
No ponto
:
Passo 5
E
:
No ponto
:
Passo 6
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 7
Agora, precisamos normalizar o vetor
. O vetor unitário
na direção de
é:
Passo 8
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Calculando:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Construa o gráfico da função dada por
.
Determine a derivada direcional da função dada no ponto
e na direção de
Determine os valores de
para que a função
, não tenha raiz real.
Resolver em
as seguintes inequações.