Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(a)

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. Queremos encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de gradiente e produto escalar. Precisaremos calcular o gradiente da função, normalizar o vetor direção e depois fazer o produto escalar entre esses dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente da função é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico . Substituindo e na expressão do gradiente:

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção . Isso significa encontrar um vetor com a mesma direção, mas com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional de no ponto na direção de é o produto escalar do gradiente de nesse ponto com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
©
(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
(a)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(e)
Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.