Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer. Queremos encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos utilizar conceitos de gradiente e produto escalar. Precisaremos calcular o gradiente da função, normalizar o vetor direção e depois fazer o produto escalar entre esses dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja,
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente da função é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto específico
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
. Isso significa encontrar um vetor com a mesma direção, mas com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional de
no ponto
na direção de
é o produto escalar do gradiente de
nesse ponto com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor
.
©
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
©
(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor
.
(a)
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
(a)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(e)
(e)
Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.