Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um sistema de equações diferenciais usando eliminação ou determinantes. O sistema é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com sistemas lineares de equações diferenciais e usar métodos de eliminação para encontrar as soluções de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações de forma mais clara:
Nosso objetivo é encontrar funções
e
que satisfaçam ambas as equações.
Passo 3
Vamos começar expressando
em termos de
. Da segunda equação, temos:
Mas para simplificar, vamos usar a primeira equação para eliminar
.
Passo 4
Da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 5
Substituindo
na segunda equação:
Vamos derivar o que está dentro dos parênteses:
Então, temos a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Para isso, vamos assumir uma solução do tipo
. Substituindo na equação:
Factorizando
:
Como
, temos:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Temos uma raiz dupla:
.
Passo 8
Como a equação características tem uma raiz dupla
, a solução geral de
é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 9
Agora, vamos encontrar
usando a expressão que encontramos anteriormente:
Calculando
:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do problema.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(e)
(e)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(a)
(a)
Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
(a)
(a)
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta: