Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um sistema de equações diferenciais usando eliminação ou determinantes. O sistema é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com sistemas lineares de equações diferenciais e usar métodos de eliminação para encontrar as soluções de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações de forma mais clara:
Nosso objetivo é encontrar funções e que satisfaçam ambas as equações.

Passo 3

Vamos começar expressando em termos de . Da segunda equação, temos:
Mas para simplificar, vamos usar a primeira equação para eliminar .

Passo 4

Da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 5

Substituindo na segunda equação:
Vamos derivar o que está dentro dos parênteses:
Então, temos a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Para isso, vamos assumir uma solução do tipo . Substituindo na equação:
Factorizando :
Como , temos:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Temos uma raiz dupla: .

Passo 8

Como a equação características tem uma raiz dupla , a solução geral de é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 9

Agora, vamos encontrar usando a expressão que encontramos anteriormente:
Calculando :
Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais do problema.

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