(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto
.
(iii) Determine a taxa de variação de
na direção do vetor
.
©
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com uma função de várias variáveis, especificamente
. Precisamos calcular o gradiente dessa função, avaliar o gradiente no ponto
e descobrir a taxa de variação de
nesse ponto na direção de um vetor
. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, focando no conceito de derivadas parciais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a x:
- Derivada parcial em relação a y:
- Derivada parcial em relação a z:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Basta substituir
,
e
nas componentes do gradiente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
Por fim, vamos determinar a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
. A taxa de variação nessa direção é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor
.
(a)
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
(a)
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor da reta
da região limitada pelas curvas
.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(a)
(a)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(e)
(e)