(i) Determine o gradiente de f.
(ii) Calcule o gradiente no ponto P.
(iii) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
© f(x, y, z) = x * y^2 * z^3, P(1, -2, 1), u = <1/raiz(3), -1/raiz(3), 1/raiz(3)>

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com uma função de várias variáveis, especificamente . Precisamos calcular o gradiente dessa função, avaliar o gradiente no ponto e descobrir a taxa de variação de f nesse ponto na direção de um vetor . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, focando no conceito de derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de f. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de f em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a x:
  1. Derivada parcial em relação a y:
  1. Derivada parcial em relação a z:
Então, o gradiente de f é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Basta substituir x = 1, y = -2 e z = 1 nas componentes do gradiente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o gradiente no ponto P é:

Passo 5

Por fim, vamos determinar a taxa de variação de f no ponto P na direção do vetor u. A taxa de variação nessa direção é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor u:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de f no ponto na direção do vetor u é .

Exercícios relacionados