(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com uma função de várias variáveis, especificamente . Precisamos calcular o gradiente dessa função, avaliar o gradiente no ponto e descobrir a taxa de variação de nesse ponto na direção de um vetor . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, focando no conceito de derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a x:
  1. Derivada parcial em relação a y:
  1. Derivada parcial em relação a z:
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Basta substituir , e nas componentes do gradiente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Por fim, vamos determinar a taxa de variação de no ponto na direção do vetor . A taxa de variação nessa direção é dada pelo produto escalar entre o gradiente de em e o vetor :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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(i) Determine o gradiente de .
(ii) Calcule o gradiente no ponto .
(iii) Determine a taxa de variação de na direção do vetor .
(a)
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor da reta da região limitada pelas curvas .
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(a)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(e)