Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(e)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função de três variáveis, , e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais e como calcular o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica é a taxa de variação da função nessa direção. Matemáticamente, ela é calculada usando o gradiente da função e o vetor de direção normalizado.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 5
Agora, substituímos o ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente no ponto específico:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 6
Agora, precisamos normalizar o vetor de direção . Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1):
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Passo 7
Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .