Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
(e) f(x, y, z) = raiz(x y z), (2, 4, 2), v = < 4, 2, -4 >

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função de três variáveis, , e queremos encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas direcionais e como calcular o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica é a taxa de variação da função nessa direção. Matemáticamente, ela é calculada usando o gradiente da função e o vetor de direção normalizado.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:

Passo 5

Agora, substituímos o ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente no ponto específico:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 6

Agora, precisamos normalizar o vetor de direção . Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário (com comprimento 1):
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 7

Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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