Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Aqui estamos trabalhando com Cálculo Multivariável, especificamente com derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é o produto escalar entre o gradiente da função nesse ponto e o vetor unitário na direção dada. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis:
Para , as derivadas parciais são:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos o denominador:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção de . Para isso, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, fazemos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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(d)
Seja :
(a) Determine a taxa de variação de no ponto , na direção de para , ou seja, na direção do vetor .