Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Aqui estamos trabalhando com Cálculo Multivariável, especificamente com derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é o produto escalar entre o gradiente da função nesse ponto e o vetor unitário na direção dada. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
Para
, as derivadas parciais são:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Primeiro, calculamos o denominador:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção de
. Para isso, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
Agora, fazemos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
é
.
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Mostre que a curva
parametrizada por
com
positivo e com domínio com
está contida em uma esfera de raio
.
Mostre que a curva
parametrizada por
com
e
positivos e com domínio
está contida em um cilindro. Quantas voltas em torno do eixo
a curva dá no domínio indicado?
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(d)
(d)
Seja
:
(a) Determine a taxa de variação de no ponto
, na direção de
para
, ou seja, na direção do vetor
.
(a) Determine a taxa de variação de