Seja :
(a) Determine a taxa de variação de no ponto , na direção de para , ou seja, na direção do vetor .
Passo 1
Então, o enunciado pede para a gente encontrar a taxa de variação da função no ponto na direção do vetor que vai de até . Isso está relacionado ao cálculo do derivada direcional, que mede como a função muda em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor direção . Para isso, subtraímos as coordenadas de das de :
Passo 3
Agora, vamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1. O comprimento do vetor é:
Então, o vetor unitário na direção de é:
Passo 4
A próxima etapa é calcular o gradiente da função . O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Finalmente, a taxa de variação direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada: