Seja f(x, y) = e^(x^2 + y^2) :
(a) Determine a taxa de variação de f no ponto P(1/2, 1/2), na direção de P(1/2, 1/2) para Q(2, 1/2), ou seja, na direção do vetor PQ.

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente encontrar a taxa de variação da função no ponto na direção do vetor que vai de até . Isso está relacionado ao cálculo do derivada direcional, que mede como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor direção . Para isso, subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora, vamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1. O comprimento do vetor é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

A próxima etapa é calcular o gradiente da função . O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 5

Finalmente, a taxa de variação direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados