Seja :
(a) Determine a taxa de variação de no ponto , na direção de para , ou seja, na direção do vetor .

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente encontrar a taxa de variação da função no ponto na direção do vetor que vai de até . Isso está relacionado ao cálculo do derivada direcional, que mede como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor direção . Para isso, subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora, vamos normalizar esse vetor para que ele tenha comprimento 1. O comprimento do vetor é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

A próxima etapa é calcular o gradiente da função . O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 5

Finalmente, a taxa de variação direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
©
Seja :
(b) Escreva o vetor para o qual tem a máxima variação. Qual é a máxima taxa de variação no ponto .
Determine todos os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.
(a)