Mostre que a curva parametrizada por com positivo e com domínio com está contida em uma esfera de raio .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a curva , dada por com positivo e no intervalo , está dentro de uma esfera de raio . Ou seja, queremos provar que todos os pontos dessa curva satisfazem a equação de uma esfera com raio . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância euclidiana (norma do vetor posição) e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a norma do vetor posição . A norma de um vetor é dada por:
No nosso caso, temos:
Então, substituindo na fórmula da norma:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Fatorando o de cada termo dentro da raiz:

Passo 4

Agora, vamos usar algumas identidades trigonométricas para simplificar ainda mais:
  1. Sabemos que .
  2. Também sabemos que .
  3. E (porque ).
Aplicando isso:

Resposta

A norma do vetor posição é sempre igual a , o que significa que a curva está contida em uma esfera de raio .

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Mostre que a curva parametrizada por com e positivos e com domínio está contida em um cilindro. Quantas voltas em torno do eixo a curva dá no domínio indicado?
Seja a curva parametrizada por com . Mostre que esta curva representa um arco de hipérbole e desenhe o gráfico indicando os pontos iniciais e finais.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d)