Mostre que a curva C parametrizada por r(t) = (a sen(2t) cos(t), a sen(2t) sen(t), a cos(2t)) com a positivo e com domínio com t in [0, pi/2] está contida em uma esfera de raio a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a curva , dada por com positivo e no intervalo , está dentro de uma esfera de raio . Ou seja, queremos provar que todos os pontos dessa curva satisfazem a equação de uma esfera com raio . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância euclidiana (norma do vetor posição) e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a norma do vetor posição . A norma de um vetor é dada por:
No nosso caso, temos:
Então, substituindo na fórmula da norma:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Fatorando o de cada termo dentro da raiz:

Passo 4

Agora, vamos usar algumas identidades trigonométricas para simplificar ainda mais:
  1. Sabemos que .
  2. Também sabemos que .
  3. E (porque ).
Aplicando isso:

Resposta

A norma do vetor posição é sempre igual a , o que significa que a curva está contida em uma esfera de raio .

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