Mostre que a curva
parametrizada por
com
positivo e com domínio com
está contida em uma esfera de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a curva
, dada por com
positivo e
no intervalo
, está dentro de uma esfera de raio
. Ou seja, queremos provar que todos os pontos dessa curva satisfazem a equação de uma esfera com raio
. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância euclidiana (norma do vetor posição) e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a norma do vetor posição
. A norma de um vetor
é dada por:
No nosso caso, temos:
Então, substituindo na fórmula da norma:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Fatorando o
de cada termo dentro da raiz:
Passo 4
Agora, vamos usar algumas identidades trigonométricas para simplificar ainda mais:
- Sabemos que .
- Também sabemos que .
- E (porque ).
Aplicando isso:
Resposta
A norma do vetor posição é sempre igual a
, o que significa que a curva
está contida em uma esfera de raio
.