Mostre que a curva
parametrizada por
com
e
positivos e com domínio
está contida em um cilindro. Quantas voltas em torno do eixo
a curva dá no domínio indicado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a curva
parametrizada por está dentro de um cilindro. Além disso, queremos descobrir quantas voltas essa curva dá em torno do eixo
no intervalo
. Vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar contida em um cilindro. Um cilindro pode ser descrito por uma equação do tipo
, onde
é o raio do cilindro. Então, se a curva
satisfaz essa equação para algum
, ela está dentro desse cilindro.
Passo 3
Vamos substituir as coordenadas da curva
na equação do cilindro:
Substituindo na equação
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que , uma identidade trigonométrica básica. Então:
Isso significa que
, que é justamente a equação de um cilindro com raio
ao redor do eixo
.
Passo 5
Então, mostramos que para qualquer valor de
, a coordenada
pode variar livremente, mas
e
sempre satisfazem
. Portanto, a curva
está contida no cilindro de raio
ao redor do eixo
.
Passo 6
Agora, vamos descobrir quantas voltas em torno do eixo
a curva dá no intervalo
. A coordenada angular em torno do eixo
é dada pelo ângulo
em radianos.
Passo 7
Sabemos que uma volta completa em torno do círculo corresponde a
radianos. Então, para encontrar o número de voltas, dividimos o intervalo de
pelo período de uma volta:
Resposta
A curva
está contida no cilindro de raio
ao redor do eixo
e dá 4 voltas em torno do eixo
no intervalo
.