Mostre que a curva C parametrizada por r(t) = (a * cos(t), a * sen(t), b * t) com a e b positivos e com domínio t in [0, 8 pi] está contida em um cilindro. Quantas voltas em torno do eixo z a curva dá no domínio indicado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a curva parametrizada por está dentro de um cilindro. Além disso, queremos descobrir quantas voltas essa curva dá em torno do eixo no intervalo . Vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar contida em um cilindro. Um cilindro pode ser descrito por uma equação do tipo , onde é o raio do cilindro. Então, se a curva satisfaz essa equação para algum , ela está dentro desse cilindro.

Passo 3

Vamos substituir as coordenadas da curva na equação do cilindro:
Substituindo na equação :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Sabemos que , uma identidade trigonométrica básica. Então:
Isso significa que , que é justamente a equação de um cilindro com raio ao redor do eixo .

Passo 5

Então, mostramos que para qualquer valor de , a coordenada pode variar livremente, mas e sempre satisfazem . Portanto, a curva está contida no cilindro de raio ao redor do eixo .

Passo 6

Agora, vamos descobrir quantas voltas em torno do eixo a curva dá no intervalo . A coordenada angular em torno do eixo é dada pelo ângulo em radianos.

Passo 7

Sabemos que uma volta completa em torno do círculo corresponde a radianos. Então, para encontrar o número de voltas, dividimos o intervalo de pelo período de uma volta:
ú

Resposta

A curva está contida no cilindro de raio ao redor do eixo e dá 4 voltas em torno do eixo no intervalo .

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