Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Aqui vamos usar cálculo multivariável, especificamente o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário na direção dada. Ou seja:
Então, precisamos encontrar o gradiente de no ponto e também o vetor unitário na direção de .
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente de . O gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos nesse ponto:
Substituindo na expressão do gradiente:
Passo 5
Agora, vamos normalizar o vetor . Primeiro, vamos encontrar o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Passo 6
Por fim, vamos calcular o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Fazendo o cálculo:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é .