Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Aqui vamos usar cálculo multivariável, especificamente o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário na direção dada. Ou seja:
Então, precisamos encontrar o gradiente de
no ponto
e também o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente de
. O gradiente
é o vetor das derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Primeiro, calculamos
nesse ponto:
Substituindo na expressão do gradiente:
Passo 5
Agora, vamos normalizar o vetor
. Primeiro, vamos encontrar o módulo de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
Por fim, vamos calcular o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Fazendo o cálculo:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.