Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Aqui vamos usar cálculo multivariável, especificamente o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor unitário na direção dada. Ou seja:
Então, precisamos encontrar o gradiente de no ponto e também o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente de . O gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos nesse ponto:
Substituindo na expressão do gradiente:

Passo 5

Agora, vamos normalizar o vetor . Primeiro, vamos encontrar o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Por fim, vamos calcular o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Fazendo o cálculo:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
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Mostre que a curva parametrizada por com positivo e com domínio com está contida em uma esfera de raio .
Seja :
(a) Determine a taxa de variação de no ponto , na direção de para , ou seja, na direção do vetor .
Seja :
(b) Escreva o vetor para o qual tem a máxima variação. Qual é a máxima taxa de variação no ponto .