Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar a taxa de variação máxima dessa função no ponto (4, 10) e também a direção onde essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto (4, 10):

Passo 6

O gradiente da função é o vetor formado pelas derivadas parciais:
A magnitude do gradiente nos dá a taxa de variação máxima da função no ponto dado.

Passo 7

Calculando a magnitude do gradiente:

Passo 8

A direção onde a taxa de variação máxima ocorre é na direção do gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário, dividimos o gradiente pela sua magnitude:
çã

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto (4, 10) é e ocorre na direção do vetor .

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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(e)
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Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(a)