Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar a taxa de variação máxima dessa função no ponto (4, 10) e também a direção onde essa taxa ocorre. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Vamos avaliar essas derivadas no ponto (4, 10):
Passo 6
O gradiente da função
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
A magnitude do gradiente nos dá a taxa de variação máxima da função no ponto dado.
Passo 7
Calculando a magnitude do gradiente:
Passo 8
A direção onde a taxa de variação máxima ocorre é na direção do gradiente. Para expressar isso como um vetor unitário, dividimos o gradiente pela sua magnitude:
Resposta
A taxa de variação máxima de
no ponto (4, 10) é
e ocorre na direção do vetor
.
Exercícios relacionados
Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(e)
(e)
Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:
Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(a)
(a)