Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(b)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma das variáveis varia, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar as derivadas parciais no ponto . Primeiro, calculamos .
Então:

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor . A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção do vetor, não do seu comprimento.
A magnitude de é:
Portanto, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Finalmente, calculamos a derivada direcional utilizando o produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário :
O gradiente de em é:
Então, a derivada direcional é:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma:
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(g)