Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma das variáveis varia, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar as derivadas parciais no ponto
. Primeiro, calculamos
.
Então:
Passo 4
Em seguida, precisamos normalizar o vetor
. A normalização é importante porque a derivada direcional depende apenas da direção do vetor, não do seu comprimento.
A magnitude de
é:
Portanto, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Finalmente, calculamos a derivada direcional utilizando o produto escalar entre o gradiente de
no ponto
e o vetor unitário
:
O gradiente de
em
é:
Então, a derivada direcional
é:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma:
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(g)
(g)