Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto (1, 2, –2) na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor direção normalizado. Então, a fórmula que vamos usar é:
onde é o vetor direção unitário.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função , que é o vetor das derivadas parciais em relação a , e :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Pois está multiplicando apenas a função .

Passo 5

Agora, a derivada parcial em relação a :
Aplicamos a regra da cadeia aqui.

Passo 6

Em seguida, a derivada parcial em relação a :
Também usamos a regra da cadeia.

Passo 7

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado (1, 2, –2):
Primeiro, calculamos .
Então,
Então,

Passo 8

Agora, vamos normalizar o vetor :
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 9

Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto (1, 2, –2) na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma:
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(b)
Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(b)
Encontre a solução geral de cada equação de Euler
.