Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto (1, 2, –2) na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada pelo produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor direção normalizado. Então, a fórmula que vamos usar é:
onde
é o vetor direção unitário.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
, que é o vetor das derivadas parciais em relação a
,
e
:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Pois
está multiplicando apenas a função
.
Passo 5
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Aplicamos a regra da cadeia aqui.
Passo 6
Em seguida, a derivada parcial em relação a
:
Também usamos a regra da cadeia.
Passo 7
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado (1, 2, –2):
Primeiro, calculamos
.
Então,
Então,
Passo 8
Agora, vamos normalizar o vetor
:
Primeiro, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 9
Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto (1, 2, –2) na direção do vetor
é
.
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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
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.