Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge: sumn=2^infty ln nn^2

Passo 1

Beleza, vamos analisar o seguinte problema: precisamos verificar se a série sumn=2^infty ln nn^2 converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Isso faz parte do estudo de séries numéricas, especificamente sobre os tipos de convergência que uma série pode apresentar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir absolutamente ou condicionalmente.
  • Convergência Absoluta: Uma série sum an converge absolutamente se a série dos valores absolutos sum |an| também converge.
  • Convergência Condicional: Acontece quando a série original sum an converge, mas a série dos valores absolutos sum |an| diverge.
No nosso caso, todos os termos ln nn^2 são positivos para n >= 2, então a convergência absoluta e a convergência da própria série são equivalentes.

Passo 3

Para verificar a convergência da série, podemos usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação Limitada. Vamos optar pelo Teste da Comparação Limitada, pois ele é eficaz para séries que se comparam com séries p conhecidas.
Sabemos que a série sumn=2^infty 1n^2 �� convergente (isso é uma série p com p=2 > 1). Vamos comparar nossa série com essa.

Passo 4

Vamos calcular o limite do quociente dos termos das duas séries:
limn to infty ln nn^21n^2 = limn to infty ln n = infty
Esse resultado nos indica que o Teste da Comparação Limitada não é conclusivo nesse caso. Então, vamos tentar o Teste da Integral, que é útil para séries com termos que envolvem funções contínuas e decrescentes.

Passo 5

Consideramos a função f(x) = ln xx^2 para x >= 2. Vamos integrar de 2 até infinito:
integral2^infty ln xx^2 dx
Para resolver essa integral, usamos a substituição por partes, onde:
  • u = ln x Rightarrow du = 1x dx
  • dv = 1x^2 dx Rightarrow v = -1x
Aplicando a integração por partes:
integral ln xx^2 dx = -ln xx + integral 1x^2 dx = -ln xx - 1x + C
Agora, avaliamos o limite:
limb to infty ( -ln bb - 1b ) - ( -ln 22 - 12 ) = 0 - ( -ln 22 - 12 ) = ln 22 + 12
Como a integral converge para um valor finito, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty ln nn^2 também converge.

Resposta

A série sumn=2^infty ln nn^2 converge absolutamente.

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