Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos analisar o seguinte problema: precisamos verificar se a série
converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Isso faz parte do estudo de séries numéricas, especificamente sobre os tipos de convergência que uma série pode apresentar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir absolutamente ou condicionalmente.
- Convergência Absoluta: Uma série
converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. - Convergência Condicional: Acontece quando a série original
converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
No nosso caso, todos os termos
são positivos para
, então a convergência absoluta e a convergência da própria série são equivalentes.
Passo 3
Para verificar a convergência da série, podemos usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação Limitada. Vamos optar pelo Teste da Comparação Limitada, pois ele é eficaz para séries que se comparam com séries p conhecidas.
Sabemos que a série
�� convergente (isso é uma série p com
). Vamos comparar nossa série com essa.
Passo 4
Vamos calcular o limite do quociente dos termos das duas séries:
Esse resultado nos indica que o Teste da Comparação Limitada não é conclusivo nesse caso. Então, vamos tentar o Teste da Integral, que é útil para séries com termos que envolvem funções contínuas e decrescentes.
Passo 5
Consideramos a função
para
. Vamos integrar de 2 até infinito:
Para resolver essa integral, usamos a substituição por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Agora, avaliamos o limite:
Como a integral converge para um valor finito, pelo Teste da Integral, a série
também converge.
Resposta
A série
converge absolutamente.