Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conceito de série telescópica, que é quando vários termos da soma se cancelam, facilitando a análise. Vamos precisar entender como as séries telescópicas funcionam e como calcular sua soma caso ela convirja.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
A ideia aqui é notar que muitos termos se cancelam. Por exemplo, com , e assim por diante.

Passo 3

Vamos somar os primeiros termos para ver o que sobra:
Observa-se que todos os termos intermediários se cancelam, ficando:

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando tende ao infinito:
Isso porque vai para zero à medida que cresce, para qualquer valor de .

Passo 5

Concluímos que a série telescópica converge, e a soma dela é 1.

Resposta

A série converge e a sua soma é igual a .

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(b)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(g)
Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(b)