Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma: sumn=1^infty(1n^p-1(n+1)^p)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conceito de série telescópica, que é quando vários termos da soma se cancelam, facilitando a análise. Vamos precisar entender como as séries telescópicas funcionam e como calcular sua soma caso ela convirja.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
(11^p - 12^p) + (12^p - 13^p) + (13^p - 14^p) + dots
A ideia aqui é notar que muitos termos se cancelam. Por exemplo, com , e assim por diante.

Passo 3

Vamos somar os primeiros SN = (11^p - 12^p) + (12^p - 13^p) + dots + (1N^p - 1(N+1)^p) termos para ver o que sobra:
SN = 11^p - 1(N+1)^p = 1 - 1(N+1)^p
Observa-se que todos os termos intermediários se cancelam, ficando:

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando limN to infty SN = limN to infty (1 - 1(N+1)^p) = 1 - 0 = 1 tende ao infinito:
Isso porque vai para zero à medida que cresce, para qualquer valor de .

Passo 5

Concluímos que a série telescópica converge, e a soma dela é 1.

Resposta

A série converge e a sua soma é igual a .

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