Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conceito de série telescópica, que é quando vários termos da soma se cancelam, facilitando a análise. Vamos precisar entender como as séries telescópicas funcionam e como calcular sua soma caso ela convirja.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
A ideia aqui é notar que muitos termos se cancelam. Por exemplo,
com
, e assim por diante.
Passo 3
Vamos somar os primeiros
termos para ver o que sobra:
Observa-se que todos os termos intermediários se cancelam, ficando:
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece quando
tende ao infinito:
Isso porque
vai para zero à medida que
cresce, para qualquer valor de
.
Passo 5
Concluímos que a série telescópica
converge, e a soma dela é 1.
Resposta
A série converge e a sua soma é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(b)
(b)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(g)
(g)
Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(b)
(b)