Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que não é exata inicialmente. O enunciado pede para multiplicar a equação por um fator integrante, tornando-a exata, e então resolvê-la. A matéria que a gente vai usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias, especialmente sobre equações exatas e fatores integrantes. Precisamos identificar o fator que vai transformar a equação em exata e então encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Aqui, temos e .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Vamos encontrar um fator integrante. Vamos tentar um fator que depende apenas de , ou seja, . A condição para que a equação seja exata após a multiplicação é:
Simplificando para , obtemos:
Dividindo por :
Então:
Integrando ambos os lados:
Para simplificação, podemos escolher como fator integrante.

Passo 5

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, essa nova equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Integramos em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Para que isso seja verdade, , então é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Sabendo que , calcule:
(a) .
(b) .
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(d) e .
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Sejam e vetores, com ângulo entre si medindo e tais que . Determine a área do triângulo que tem os vetores e como lados adjacentes.