Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que não é exata inicialmente. O enunciado pede para multiplicar a equação por um fator integrante, tornando-a exata, e então resolvê-la. A matéria que a gente vai usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias, especialmente sobre equações exatas e fatores integrantes. Precisamos identificar o fator que vai transformar a equação em exata e então encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Aqui, temos
e
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Vamos encontrar um fator integrante. Vamos tentar um fator que depende apenas de
, ou seja,
. A condição para que a equação seja exata após a multiplicação é:
Simplificando para
, obtemos:
Dividindo por
:
Então:
Integrando ambos os lados:
Para simplificação, podemos escolher
como fator integrante.
Passo 5
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, essa nova equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Para que isso seja verdade,
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Sabendo que
, calcule:
(a) .
(b) .
(a)
(b)
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(d) e
.
(d)
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Sejam
e
vetores, com ângulo entre si medindo
e tais que
. Determine a área do triângulo que tem os vetores
e
como lados adjacentes.