Seja :
(b) Escreva o vetor para o qual tem a máxima variação. Qual é a máxima taxa de variação no ponto .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função . Queremos encontrar o vetor na direção em que essa função tem a máxima variação no ponto . Além disso, precisamos determinar qual é a máxima taxa de variação nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de maior crescimento da função e a taxa de variação máxima.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e :
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente da função é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Simplificando:
Passo 5
Esse vetor representa a direção na qual a função cresce mais rapidamente no ponto . Portanto, é o vetor para o qual a função tem a máxima variação nesse ponto.
Passo 6
Para encontrar a máxima taxa de variação, calculamos o módulo do gradiente:
Resposta
O vetor para a máxima variação é e a máxima taxa de variação no ponto é .