Seja f(x, y) = e^(x^2 + y^2) :
(b) Escreva o vetor para o qual f(1/2, 1/2) tem a máxima variação. Qual é a máxima taxa de variação no ponto P(1/2, 1/2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função . Queremos encontrar o vetor na direção em que essa função tem a máxima variação no ponto . Além disso, precisamos determinar qual é a máxima taxa de variação nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos indica a direção de maior crescimento da função e a taxa de variação máxima.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e :

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente da função é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Simplificando:

Passo 5

Esse vetor representa a direção na qual a função cresce mais rapidamente no ponto . Portanto, é o vetor para o qual a função tem a máxima variação nesse ponto.

Passo 6

Para encontrar a máxima taxa de variação, calculamos o módulo do gradiente:

Resposta

O vetor para a máxima variação é e a máxima taxa de variação no ponto é .

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