Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e usar o conceito de vetor unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o vetor
em um vetor unitário, porque a derivada direcional usa a direção do vetor, mas com comprimento 1. A fórmula para o vetor unitário
é:
Onde
é o módulo de
. Calculando:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada com relação a
:
- Derivada com relação a
:
- Derivada com relação a
:
Então,
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
, e
nas derivadas parciais:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente no ponto e o vetor unitário
:
Fazendo as contas:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
é: