Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
(f) g(x, y, z) = x * e^(y * z) + x * y * e^(z), (-2, 1, 1), v = i - 2 * j + 3 * k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função e usar o conceito de vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o vetor em um vetor unitário, porque a derivada direcional usa a direção do vetor, mas com comprimento 1. A fórmula para o vetor unitário é:
Onde é o módulo de . Calculando:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada com relação a :
  1. Derivada com relação a :
  1. Derivada com relação a :
Então,

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , , e nas derivadas parciais:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente no ponto e o vetor unitário :
Fazendo as contas:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é:

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