Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(d)
(d)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: Temos a superfície definida por
e um ponto específico
. Precisamos encontrar duas coisas:
- A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
- A equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto dado. Para isso, usamos o gradiente da função que define a superfície. A função é:
O gradiente de
é dado por:
Esse vetor gradiente será perpendicular à superfície no ponto considerado.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, o vetor gradiente no ponto é
. Esse é o vetor normal ao plano tangente.
Passo 5
Vamos encontrar a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde
é o vetor normal e
é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. Sabemos que essa reta passa pelo ponto dado e tem direção do vetor normal
.
A equação paramétrica da reta é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é:
Resposta
(i) Equação do plano tangente:
(ii) Equação da reta normal: