Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(d) x^2 - 2y^2 - 3z^2 + xyz = 4, (3, -2, -1)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: Temos a superfície definida por e um ponto específico . Precisamos encontrar duas coisas:
  1. A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
  2. A equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto dado. Para isso, usamos o gradiente da função que define a superfície. A função é:
O gradiente de é dado por:
Esse vetor gradiente será perpendicular à superfície no ponto considerado.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, o vetor gradiente no ponto é . Esse é o vetor normal ao plano tangente.

Passo 5

Vamos encontrar a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde é o vetor normal e é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. Sabemos que essa reta passa pelo ponto dado e tem direção do vetor normal .
A equação paramétrica da reta é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é:

Resposta

(i) Equação do plano tangente:
(ii) Equação da reta normal:

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