Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor v :
g(x, y) = x^2 * y - y^2 * x, (1, 2), v = 5 * i - 7 * j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e de um vetor unitário que indica a direção desejada.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 6

Agora, precisamos do vetor unitário na direção de . Primeiro, calculamos a norma de :
O vetor unitário é:

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

Exercícios relacionados