Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função
em uma direção específica. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função
e de um vetor unitário que indica a direção desejada.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 6
Agora, precisamos do vetor unitário na direção de
. Primeiro, calculamos a norma de
:
O vetor unitário
é:
Passo 7
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente
com o vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.