Encontre o domínio da função sigma com valores vetoriais e suas equações paramétricas
(d) sigma(t) = ln(t+1) i + arctan(t) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o domínio da função vetorial e também as equações paramétricas dela. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de t a função está definida e depois expressar cada componente da função como uma equação separada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte . A função logaritmo natural, , só está definida quando o argumento x é maior que zero. Então, para fazer sentido, precisamos que:

Passo 3

Resolvendo a desigualdade:
Então, para a componente estar definida, t deve ser maior que -1.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a segunda parte da função, . A função arco-tangente, , está definida para todo número real. Isso significa que não há restrições sobre os valores de t para essa parte da função.

Passo 5

Com isso, para a função vetorial sigma(t) estar totalmente definida, precisamos que ambas as componentes estejam definidas simultaneamente. A única restrição vem da primeira componente, que exige que .

Passo 6

Então, o domínio da função sigma(t) é todos os valores de t maiores que -1:

Passo 7

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da função vetorial. Isso significa expressar cada componente da função separadamente em termos de t:

Resposta

O domínio da função sigma(t) é . As equações paramétricas são:

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