Encontre as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo para de equações paramétricas e faça um esboço do gráfico
(a) x = t^2 + t, y = t^2 - t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as retas tangentes horizontais e verticais ao gráfico definido pelas equações paramétricas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a derivadas de funções paramétricas. Precisamos identificar os valores de que fazem com que a reta tangente seja horizontal ou vertical e, em seguida, determinar as equações dessas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a determinar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto do gráfico.

Passo 3

Para encontrar as retas tangentes horizontais, a inclinação da reta deve ser zero. A inclinação da reta tangente é dada por , que pode ser calculada como .
Então, queremos que , ou seja:
Portanto, precisamos resolver :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas e correspondentes a :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 5

Como a reta tangente é horizontal, ela tem a forma constante. Portanto, a equação da reta tangente horizontal é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as retas tangentes verticais. Para isso, a inclinação da reta tangente deve ser infinita, o que ocorre quando .
Então, resolvemos :

Passo 7

Vamos encontrar as coordenadas e correspondentes a :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 8

Como a reta tangente é vertical, ela tem a forma constante. Portanto, a equação da reta tangente vertical é:

Resposta

As retas tangentes ao gráfico das equações paramétricas e são:
  • Reta tangente horizontal:
  • Reta tangente vertical:

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