Encontre as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo para de equações paramétricas e faça um esboço do gráfico
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as retas tangentes horizontais e verticais ao gráfico definido pelas equações paramétricas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a derivadas de funções paramétricas. Precisamos identificar os valores de
que fazem com que a reta tangente seja horizontal ou vertical e, em seguida, determinar as equações dessas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas nos ajudam a determinar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto do gráfico.
Passo 3
Para encontrar as retas tangentes horizontais, a inclinação da reta deve ser zero. A inclinação da reta tangente é dada por
, que pode ser calculada como
.
Então, queremos que
, ou seja:
Portanto, precisamos resolver
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas
e
correspondentes a
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 5
Como a reta tangente é horizontal, ela tem a forma
constante. Portanto, a equação da reta tangente horizontal é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as retas tangentes verticais. Para isso, a inclinação da reta tangente deve ser infinita, o que ocorre quando
.
Então, resolvemos
:
Passo 7
Vamos encontrar as coordenadas
e
correspondentes a
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 8
Como a reta tangente é vertical, ela tem a forma
constante. Portanto, a equação da reta tangente vertical é:
Resposta
As retas tangentes ao gráfico das equações paramétricas
e
são:
- Reta tangente horizontal:
- Reta tangente vertical: