Encontre a solução geral de cada equação de Euler
t^2 y'' - 3 t y' + 4 y = 0, t > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler: para . Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes que são polinômios de . Para resolver, a gente vai procurar soluções do tipo , onde é um número que a gente precisa descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que . Com isso, vamos calcular as derivadas de :

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação original:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, podemos fatorar :
Como nunca é zero para , a gente pode igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, temos uma raiz dupla: .

Passo 6

Quando a equação característica tem raízes repetidas, a solução geral da equação de Euler é:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação de Euler é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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