Encontre a solução geral de cada equação de Euler
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Euler:
para
. Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes que são polinômios de
. Para resolver, a gente vai procurar soluções do tipo
, onde
é um número que a gente precisa descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
. Com isso, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, podemos fatorar
:
Como
nunca é zero para
, a gente pode igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, temos uma raiz dupla:
.
Passo 6
Quando a equação característica tem raízes repetidas, a solução geral da equação de Euler é:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação de Euler é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(b)
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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
(g)
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(f)
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Esboçar o hodógrafo das seguintes funções vetoriais:
(a)
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