Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas coisas para a superfície definida por no ponto :
  1. A equação do plano tangente.
  2. A equação da reta normal.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente de uma função. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície que temos: . Podemos pensar nela como uma função . O gradiente dessa função, , vai nos dar um vetor normal à superfície nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . As componentes do gradiente são as derivadas parciais de em relação a , e :
Calculando cada derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado :
Então, . Esse vetor será o normal ao plano tangente e a direção da reta normal.

Passo 5

(i) Equação do Plano Tangente
A equação geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:

Passo 6

(ii) Equação da Reta Normal
A reta normal passa pelo ponto e tem a direção do vetor normal . Podemos escrever as equações paramétricas da reta assim:
Onde é um parâmetro real.

Resposta

(i) Equação do plano tangente:
(ii) Equação da reta normal:

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
(g)
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma:
Encontre a solução geral de cada equação de Euler
.
Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(f)