Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas coisas para a superfície definida por no ponto :
A equação do plano tangente.
A equação da reta normal.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente de uma função. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que temos: . Podemos pensar nela como uma função . O gradiente dessa função, , vai nos dar um vetor normal à superfície nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente . As componentes do gradiente são as derivadas parciais de em relação a , e :
Calculando cada derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado :
Então, . Esse vetor será o normal ao plano tangente e a direção da reta normal.
Passo 5
(i) Equação do Plano Tangente
A equação geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 6
(ii) Equação da Reta Normal
A reta normal passa pelo ponto e tem a direção do vetor normal . Podemos escrever as equações paramétricas da reta assim: