Determine as equações (i) do plano tangente e (ii) da reta normal para a superfície dada no ponto especificado.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas coisas para a superfície definida por
no ponto
:
- A equação do plano tangente.
- A equação da reta normal.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente de uma função. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que temos:
. Podemos pensar nela como uma função
. O gradiente dessa função,
, vai nos dar um vetor normal à superfície nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Calculando cada derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado
:
Então,
. Esse vetor será o normal ao plano tangente e a direção da reta normal.
Passo 5
(i) Equação do Plano Tangente
A equação geral do plano tangente em um ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 6
(ii) Equação da Reta Normal
A reta normal passa pelo ponto
e tem a direção do vetor normal
. Podemos escrever as equações paramétricas da reta assim:
Onde
é um parâmetro real.
Resposta
(i) Equação do plano tangente:
(ii) Equação da reta normal: