Determine a derivada direcional da função no ponto P dado e na direção do vetor que vai de P até o ponto Q
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 ; P=(2,1,3) ; Q=(0,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor que vai de até . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar o vetor que vai do ponto PQ = Q - P = (0 - 2, 0 - 1, 0 - 3) = (-2, -1, -3) até o ponto . Isso é feito subtraindo as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora, para usar esse vetor na derivada direcional, ele precisa ser um vetor unitário, ou seja, ter comprimento 1. Para isso, vamos calcular a norma de |PQ| = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14 :
u = ( -2raiz14, -1raiz14, -3raiz14 )
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

A derivada direcional de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (2x, 2y, 2z) no ponto nabla f(P) = (2 cdot 2, 2 cdot 1, 2 cdot 3) = (4, 2, 6) na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de em com o vetor unitário . Primeiro, vamos calcular o gradiente de :
No ponto :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar do gradiente em Du f(P) = nabla f(P) cdot u = (4, 2, 6) cdot ( -2raiz14, -1raiz14, -3raiz14 ) com = 4 cdot -2raiz14 + 2 cdot -1raiz14 + 6 cdot -3raiz14 = -8 - 2 - 18raiz14 = -28raiz14 :
-28raiz14 = -28 cdot raiz1414 = -2raiz14
Podemos simplificar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor que vai de até é .

Exercícios relacionados