Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção do vetor que vai de até o ponto
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor que vai de até . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar o vetor que vai do ponto até o ponto . Isso é feito subtraindo as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora, para usar esse vetor na derivada direcional, ele precisa ser um vetor unitário, ou seja, ter comprimento 1. Para isso, vamos calcular a norma de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 4

A derivada direcional de no ponto na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de em com o vetor unitário . Primeiro, vamos calcular o gradiente de :
No ponto :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar do gradiente em com :
Podemos simplificar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor que vai de até é .

Exercícios relacionados

A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove pessoas do sexo masculino com idade entre 18 e 22 anos, extraída ao acaso entre os alunos de um curso de determinada universidade.
Altura (cm) Peso (kg)
158 61
163 63
163 71
168 70
173 69
178 73
183 79
188 81
193 79
Estime a altura de um aluno com 65 kg .
A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove pessoas do sexo masculino com idade entre 18 e 22 anos, extraída ao acaso entre os alunos de um curso de determinada universidade.
Altura (cm) Peso (kg)
158 61
163 63
163 71
168 70
173 69
178 73
183 79
188 81
193 79
Estime o peso de um aluno com 170 cm de altura;
Seja definida para com inversa . Use o Teorema da Função Inversa para mostrar que é derivável e calcular .
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: