Determine a derivada direcional da função no ponto
dado e na direção do vetor que vai de
até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor que vai de
até
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar o vetor que vai do ponto
até o ponto
. Isso é feito subtraindo as coordenadas de
das de
:
Passo 3
Agora, para usar esse vetor na derivada direcional, ele precisa ser um vetor unitário, ou seja, ter comprimento 1. Para isso, vamos calcular a norma de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 4
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
em
com o vetor unitário
. Primeiro, vamos calcular o gradiente de
:
No ponto
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar do gradiente em
com
:
Podemos simplificar:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor que vai de
até
é
.
Exercícios relacionados
A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove pessoas do sexo masculino com idade entre 18 e 22 anos, extraída ao acaso entre os alunos de um curso de determinada universidade.
Altura (cm) | Peso (kg) |
---|---|
158 | 61 |
163 | 63 |
163 | 71 |
168 | 70 |
173 | 69 |
178 | 73 |
183 | 79 |
188 | 81 |
193 | 79 |
Estime a altura de um aluno com 65 kg .
A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove pessoas do sexo masculino com idade entre 18 e 22 anos, extraída ao acaso entre os alunos de um curso de determinada universidade.
Altura (cm) | Peso (kg) |
---|---|
158 | 61 |
163 | 63 |
163 | 71 |
168 | 70 |
173 | 69 |
178 | 73 |
183 | 79 |
188 | 81 |
193 | 79 |
Estime o peso de um aluno com 170 cm de altura;
Seja
definida para
com inversa
. Use o Teorema da Função Inversa para mostrar que
é derivável e calcular
.
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: