Determine a derivada direcional da função no ponto
dado e na direção do vetor que vai de
até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor que vai de
até
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar o vetor que vai do ponto
até o ponto
. Isso é feito subtraindo as coordenadas de
das de
:
Passo 3
Agora, para usar esse vetor na derivada direcional, ele precisa ser um vetor unitário, ou seja, ter comprimento 1. Para isso, vamos calcular a norma de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 4
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
em
com o vetor unitário
. Primeiro, vamos calcular o gradiente de
:
No ponto
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar do gradiente em
com
:
Podemos simplificar:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor que vai de
até
é
.