Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada onde a gente precisa encontrar a derivada da função
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas de funções onde a variável está no expoente. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada diferenciação logarítmica, que facilita bastante quando temos funções assim.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a função. Isso nos ajuda a lidar com o expoente que tem uma função trigonométrica.
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos reescrever a equação:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de
é
.
Passo 5
Para derivar o lado direito, precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Passo 6
Agora, substituímos essa derivada de volta na equação inicial:
Passo 7
Por fim, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Como
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função
é: