Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
f(x)=x^sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada onde a gente precisa encontrar a derivada da função . A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas de funções onde a variável está no expoente. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada diferenciação logarítmica, que facilita bastante quando temos funções assim.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a função. Isso nos ajuda a lidar com o expoente que tem uma função trigonométrica.
ln(f(x)) = ln(x^sen(x))

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(f(x)) = sen(x) cdot ln(x) , podemos reescrever a equação:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a f'(x)f(x) = ddx [ sen(x) cdot ln(x) ] . No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de é .

Passo 5

Para derivar o lado direito, precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de ddx [ sen(x) cdot ln(x) ] = cos(x) cdot ln(x) + sen(x) cdot 1x é . Aqui, e .

Passo 6

Agora, substituímos essa derivada de volta na equação inicial:
f'(x)f(x) = cos(x) cdot ln(x) + sen(x)x

Passo 7

Por fim, isolamos f'(x) = f(x) cdot ( cos(x) cdot ln(x) + sen(x)x ) multiplicando ambos os lados por f'(x) = x^sen(x) cdot ( cos(x) cdot ln(x) + sen(x)x ) :
Como , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função f'(x) = x^sen(x) cdot ( cos(x) cdot ln(x) + sen(x)x ) é:

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