Seja definida para com inversa . Use o Teorema da Função Inversa para mostrar que é derivável e calcular .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos a função , definida para todo número real . A gente precisa usar o Teorema da Função Inversa pra mostrar que a função inversa de , que vamos chamar de , é derivável. Além disso, temos que calcular a derivada de em , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que é função inversa, como aplicar o Teorema da Função Inversa e calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa de é aquela que satisfaz para todo no domínio de , e para todo no domínio de .

Passo 3

Agora, vamos ao Teorema da Função Inversa. Esse teorema nos diz que se é diferenciável em um ponto e sua derivada em é diferente de zero ( ), então a função inversa é diferenciável em , e a derivada de nesse ponto é dada por:
Isso significa que, para encontrar , precisamos achar um ponto tal que e depois calcular .

Passo 4

Vamos encontrar o valor de tal que :
Essa equação pode não ter uma solução analítica fácil, mas vamos supor que existe um valor que satisfaz essa equação. (Na prática, usaríamos métodos numéricos para encontrar , mas para o propósito dessa questão, vamos focar no processo teórico.)

Passo 5

Assumindo que encontramos o valor de , vamos calcular a derivada de nesse ponto:
Portanto, .

Passo 6

Aplicando o Teorema da Função Inversa, temos:
Mas sabemos que , então podemos usar isso para expressar . Substituindo na expressão de :
Como satisfaz , precisaríamos do valor exato de para calcular numericamente . Porém, como estamos trabalhando teoricamente, mantemos a expressão em termos de .

Resposta

A derivada de em é dada por , onde é o valor que satisfaz .

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.
A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma amostra de nove pessoas do sexo masculino com idade entre 18 e 22 anos, extraída ao acaso entre os alunos de um curso de determinada universidade.
Altura (cm) Peso (kg)
158 61
163 63
163 71
168 70
173 69
178 73
183 79
188 81
193 79
Estime a altura de um aluno com 65 kg .
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