Seja
definida para
com inversa
. Use o Teorema da Função Inversa para mostrar que
é derivável e calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos a função
, definida para todo número real
. A gente precisa usar o Teorema da Função Inversa pra mostrar que a função inversa de
, que vamos chamar de
, é derivável. Além disso, temos que calcular a derivada de
em
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender o que é função inversa, como aplicar o Teorema da Função Inversa e calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa
de
é aquela que satisfaz
para todo
no domínio de
, e
para todo
no domínio de
.
Passo 3
Agora, vamos ao Teorema da Função Inversa. Esse teorema nos diz que se
é diferenciável em um ponto
e sua derivada em
é diferente de zero (
), então a função inversa
é diferenciável em
, e a derivada de
nesse ponto é dada por:
Isso significa que, para encontrar
, precisamos achar um ponto
tal que
e depois calcular
.
Passo 4
Vamos encontrar o valor de
tal que
:
Essa equação pode não ter uma solução analítica fácil, mas vamos supor que existe um valor
que satisfaz essa equação. (Na prática, usaríamos métodos numéricos para encontrar
, mas para o propósito dessa questão, vamos focar no processo teórico.)
Passo 5
Assumindo que encontramos o valor de
, vamos calcular a derivada de
nesse ponto:
Portanto,
.
Passo 6
Aplicando o Teorema da Função Inversa, temos:
Mas sabemos que
, então podemos usar isso para expressar
. Substituindo na expressão de
:
Como
satisfaz
, precisaríamos do valor exato de
para calcular numericamente
. Porém, como estamos trabalhando teoricamente, mantemos a expressão em termos de
.
Resposta
A derivada de
em
é dada por
, onde
é o valor que satisfaz
.