Seja f(x)=x+e^x definida para x in R com inversa g. Use o Teorema da Função Inversa para mostrar que g é derivável e calcular g^prime(1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos a função , definida para todo número real . A gente precisa usar o Teorema da Função Inversa pra mostrar que a função inversa de , que vamos chamar de , é derivável. Além disso, temos que calcular a derivada de em , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que é função inversa, como aplicar o Teorema da Função Inversa e calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa de é aquela que satisfaz para todo no domínio de , e para todo no domínio de .

Passo 3

Agora, vamos ao Teorema da Função Inversa. Esse teorema nos diz que se g'(f(a)) = 1f'(a) é diferenciável em um ponto e sua derivada em é diferente de zero ( ), então a função inversa é diferenciável em , e a derivada de nesse ponto é dada por:
Isso significa que, para encontrar , precisamos achar um ponto tal que e depois calcular .

Passo 4

Vamos encontrar o valor de f(a) = a + e^a = 1 tal que :
Essa equação pode não ter uma solução analítica fácil, mas vamos supor que existe um valor que satisfaz essa equação. (Na prática, usaríamos métodos numéricos para encontrar , mas para o propósito dessa questão, vamos focar no processo teórico.)

Passo 5

Assumindo que encontramos o valor de f'(x) = ddx(x + e^x) = 1 + e^x , vamos calcular a derivada de nesse ponto:
Portanto, .

Passo 6

Aplicando o Teorema da Função Inversa, temos:
g'(1) = 1f'(a) = 11 + e^a
Mas sabemos que g'(1) = 11 + (1 - a) = 12 - a , então podemos usar isso para expressar . Substituindo na expressão de :
Como satisfaz , precisaríamos do valor exato de para calcular numericamente . Porém, como estamos trabalhando teoricamente, mantemos a expressão em termos de .

Resposta

A derivada de em é dada por , onde é o valor que satisfaz .

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